Момент инерции тела обладает следующими важнейшими свойствами, имеющими практическое значение

Момнет инерции твердого тела

Момент инерции твердого тела характеризует инерционные свойства твердого тела по отношению к вращательному движению: чем больше момент инерции I тела при том же самом моменте внешних сил М, тем меньше его угловое ускорение dω/ dt

Момент инерции тела относительно оси вращения зависит от массы тела и от распределения этой массы. Чем больше масса тела и чем дальше она отстоит от воображаемой оси, тем большим моментом инерции обладает тело. Момент инерции элементарной (точечной) массы m_i, отстоящей от оси на расстоянии ri, равен: .Момент инерции всего тела относительно оси равен:

Момент инерции тела зависит от:

1. расстояния до оси вращения;

2. формы тела;

3. массы тела;

4. распределения массы тела по его объему.

Момент инерции кольца:

Упростим немного обозначения. Пусть и --- внешний в внутренний радиусы кольца, и --- массы дисков из того же материала, что кольцо, радиусами и . Известно, что моменты инерции таких дисков относительно осей, перпендикулярных дискам и проходящих через их центры масс, равны и . (Если это необходимо пояснить, переспросите.)

Представим теперь большой диск как наше кольцо и малый диск внутри кольца. Момента можно записать

Кроме того, массы дисков, очевидно, пропорциональны квадратам их радиусов

Из трех последних уравнений исключаем и и выражаем

Момент инерции сплошного однородного диска (или цилиндра):

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца. Момент инеpции отдельного кольца выpажается так: dm=r².
Тогда момент инеpции диска находится интегpиpованием:

I=∫r² dm

Чтобы вычислить интегpал, введем повеpхностную плотность диска:

Ϭ= m/S= m/πr²

Тогда элементаpную массу кольца можно выpазить следующим обpазом:

dm = ϬdS = Ϭ 2πr dr

Тепеpь можно вычислить момент инеpции диска:

I = m/πr²*2π ₍₀^r)∫r³ dr = mr²/2

Дата добавления: 2015-04-24