Сформулируйте основные понятия математической статистики

Дайте определение теории вероятностей и математической статистики.

Область применения статистических методов контроля.

Области применения статистических методов контроля вытекают из тех задач, которые решаются с помощью этих методов:

- оценивание состояния производственных процессов, технологического оборудования;

- оценивание деятельности предприятия в области качества продукции;

- оперативное управление производственными процессами на предприятии;

- исследование и разработка технологии контрольных операций;

- контроль качества продукции различными контролирующими органами (ОТК предприятия, территориальными органами Госстандарта, инспекциями по качеству);

- решение задач по надёжности, сертификации продукции, метрологическому обеспечению;

- разработка разделов "Приёмка" и "Методы контроля (анализа, испытаний, измерений)" в стандартах и ТУ на продукцию и технологические процессы;

- подготовка заключений и разделов "Приёмка" и "Методы контроля (анализа, испытаний, измерений)" в стандартах и ТУ на продукцию;

Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности массовых однородных случайных явлений, то есть таких явлений, которые при неоднократных наблюдениях или измерениях, в однородных условиях, дают различающиеся результаты и которые невозможно заранее предсказать с абсолютной точностью. Её основная задача – по известным вероятностям одних случайных событий находить вероятности других, связанных с первыми. Математическая статистика – это наука о математических методах систематизации, обработки, анализа и использования статистических выборочных данных для научных и практических выводов, для выявления объективных закономерностей. Основные задачи, решаемые методами математической статистики:

· описание закономерностей рассеяния случайных величин;

· оценивание величины параметров распределение генеральных совокупностей и надёжности полученных оценок;

· проверка статистических гипотез;

· оценивание тесности статистической связи между двумя или несколькими случайными переменными;

· получение и анализ регрессионных математических моделей и ряд других.

Целью статистического анализа является, с одной стороны, получение максимальной информации при минимуме затрат на проведение опытов, а с другой – оценивание достоверности достигнутых результатов.

Рассмотрим основные понятия теории вероятностей и математической статистики.

· Математическая статистика – это наука о математических методах систематизации, обработки, анализа и использования статистических выборочных данных для научных и практических выводов, для выявления объективных закономерностей.

Опыт – это воспроизведение какого-либо явления при определённом комплексе условий с целью испытания или исследования.

Событие – это любой факт, который может или не может произойти в результате испытаний (опыта События по степени достоверности подразделяют на: а) достоверные, б) невозможные и в) случайные. По признаку совместимости случайные события разделяют на совместные и несовместимые. По степени возможности случайные события разделяют на равновозможные и неравновозможные.

Результат наблюдения (или просто наблюдение), если он получен в виде некоторого числа, есть количественная характеристика опыта, выраженная числовым результатом измерения.

1. Случайная величина (переменная) х есть такая величина (переменная), конкретные значения которой в результате опыта невозможно заранее точно предсказать

Непрерывная случайная величина – такая случайная величина, которая может принимать любые частные значения в широком диапазоне, Дискретная случайная величина может принимать лишь некоторые фиксированные значения х₁, х₂, … х_n, называемые её вариантами (или дискретами), при чем совокупность n вариантов случайной величины х называют её спектром.

Статистической совокупностью называют совокупность всех частных значений случайной переменной, которые либо получены, либо могут быть получены в результате специальных опытов или текущего учета. Статистические совокупности разделяются на генеральные и выборочные.

Генеральная статистическая совокупность содержит все возможные частные значения случайной величины.

Выборочная статистическая совокупность (выборка, проба) обычно является лишь небольшой частью генеральной (ГОСТ 15895).

Элемент статистической совокупности – это каждое из частных значений х_i случайной величины х в данной статистической совокупности.

Объёмом статистической совокупности называется общее число N её элементов.

Относительная частота n_k

n_k = N_k/N (k = 1, 2, …, K) (2-1)

1.

Итак, под вероятностью r_k события

r_k = lim n_k = limN_k/N (2-2)

N®¥ N®¥

Вероятность выражают либо в относительных единицах (от 0 до 1), либо в процентах (от 0% до 100%). Вероятность невозможного события А принимают равной нулю, то есть Р{А} = 0, а вероятность достоверного (неслучайного) события B принимают равной единице, то есть Р{B} = 1. 0 < P{B} < 1.

Условной относительной частотой n{А/Б} называют частоту такого события А, которое произошло при условии, что произошло также и другое событие Б. (

Условной вероятностью P{А/Б}

P {А/Б} = lim n{А/Б} (2-4)

N®¥

Плотность вероятности r^*_k непрерывной случайной величины определяют как вероятность её появления, приходящаяся на некоторый единичный интервал случайной величины.

Интервал случайной величины х – это связная область (отрезок) между двумя частными значениями х на её числовой оси, например, х _j и х _i, внутрь которого может попасть (или не попасть) некоторое количество её элементов.

Статистикой принято называть любую функцию от элементов выборочной статистической совокупности. Закон больших чисел говорит, что при достаточно большом объёме статистической совокупности средний результат случайной переменной и другие её числовые характеристики практически перестают быть случайными и с высокой степенью надёжности могут быть предсказаны, так как при этом стремятся к генеральным числовым характеристикам. Статистическая устойчивость числовых характеристик случайной величины при N ® ¥ является физическим содержанием закона больших чисел. Закон больших чисел и центральная предельная теорема позволяют делать обоснованные прогнозы в области случайных явлений, а также оценивать точность этих прогнозов.

Закон распределения случайной переменной х устанавливает связь между возможными значениями х_k этой случайной величины и соответствующими вероятностями r_k (или плотностями вероятностей r^*_k) появления данной случайной величины х в её генеральной совокупности

13. Что такое закон распределения вероятностей случайной переменной, какими способами он может быть задан?

Закон распределения случайной переменной х устанавливает связь между возможными значениями х_k этой случайной величины и соответствующими вероятностями r_k (или плотностями вероятностей r^*_k) появления данной случайной величины х в её генеральной совокупности. Закон распределения может быть задан тремя способами: 1) аналитически, в виде формулы, 2) графически, в виде некоторой непрерывной кривой (для непрерывной случайной величины) либо в виде ступенчатой или решетчатой функции (для дискретной случайной переменной), 3) в виде таблицы. Используют две основные формы выражения закона распределения случайной величины: 1) интегральную, 2) дифференциальную.

14. Назовите две основные формы выражения закона распределения случайной величины. Каковы их свойства?

Интегральная функция распределения F(х) для генеральной совокупности (или её оценка `F(х) для выборки) показывает какая доля статистической совокупности лежит левее данного конкретного значения х _j случайной величины х на её числовой оси, то есть при х<х _j. Весь относительный объём совокупности принимается равным единице.

Перечислим основные свойства F (х):

1. F(х) – всегда неотрицательная функция, для неё при любом х _j справедливо:

F(х _j) ≥ 0, (2-5)

так как число элементов совокупности не может быть отрицательным.

2. F (х) – неубывающая функция, то есть, если х _i > х _j (рис. 2.1), то выполняется условие: F (x _i) > F (x _j).

3. Пределом влево на числовой оси х для F (х) служит нуль:

lim F

4. Пределом вправо на числовой оси х для F (х) служит

единица: lim F (x) = 1.

Дифференциальная функция распределения j (х) есть 1-я производная от интегральной функции распределения F (x):

j (х) = d/dx F (x). (2-11)

Перечислим основные свойства j (х):

1. j (х) – всегда неотрицательная функция, то есть при любых х _j выполняется условие:j(х _j)³0;

2. пределами для j (х) влево и вправо на числовой оси х является нуль, то есть:

lim j (х) = 0 (2-13)

|х|® ¥

3. Определённый интеграл по всей области х, где задана j (х), равен единице: _¥

это означает, что площадь, ограниченная кривой j (х) и осью абсцисс х, равна единице, так как весь относительный объём статистической совокупности (то есть и полная вероятность) принимается равным единице.

15. Что такое интервальный дискретные ряды распределения и каков порядок их построения?

Интервальный ряд распределения *) – это табличная (или графическая) форма выражения закона распределения или его оценки. При изучении распределения выборки вместо вероятностей p_k указывают их оценки n_k. Ряд распределения обычно представляется не только в виде таблицы, но и изображается также графически.

Порядок построения интервального ряда распределения по данным выборки рекомендуется следующий:

1. по данным выборки объёмом N элементов вычисляют среднее значение `х случайной переменной х:

2. из элементов выборки находят минимальное х_min и максимальное х_max значения случайной величины х;

3. оценивают число K интервалов (квантов), на которые надо разбить весь диапазон измерений случайной величины х ****):

Полученные данные округляют до К^° целого, - лучше до меньшего целого, - чтобы в каждый интервал попало больше элементов. оценивают ширину dх интервалов:

Результаты округляют до большего чётного или просто удобного числа dх^°. Ширину dх^° обычно принимают одинаковой для всех интервалов,

4. строят числовую ось х, на которой отмечают `х, х<sub>min</sub>, x<sub>max</sub>, а также границы интервалов так, чтобы среднее `х оказалось в середине центрального интервала..

5. Полученные числовые значения границ интервалов x_k-1; x_k заносят в таблицу и подсчитывают число N_k элементов, попавших в каждый k-тый интервал.. Числа N_k заносят в таблицу.

6. Вычисляют по (2-1) относительные частоты n_k и заносят их в таблицу.

7. Вычисляют оценки плотностей вероятностей (плотностей относительных частот): n^*_k = n_k/ dх^°. (2-18)

По полученным данным строят графики F (x) и j (х), последний либо в виде гистограммы, либо в виде полигона

Дата добавления: 2015-04-24