Сформулируйте алгоритм проверки статистических гипотез при различных альтернативных гипотезах

Расскажите о трех основных требованиях к точечным оценкам, раскройте их содержание.

Все оценки, рассмотренные в 2.3.1÷2.3.4 являются точеч­ными оценками, которые определяются одним числом, точечное оценивание с помощью некоторых подходящих статистик дает в результата оценку , которая есть число, позволяющее судить о примерной величине генеральной числовой характеристики . Так как оценка вычисляется по результатам обычно небольшой случайной выборки, то любая оценка является случайной величиной и лишь при стремится к генераль­ному параметру , который уже не является случайной величиной. При выборке продукции малого объема точечная оценка может зна­чительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. Чтобы статистические оценки давали хорошее приближение оцениваемых параметров, к ним предъявляют следующие требования:

1) состоятельность;

2) несмещенность;

3) эффективность.

1) Состоятельность означает, что при неограниченном во­зрастании объема выборки значение оценки с полной достоверностью (вероятность р = 1) стремится к значению оцениваемого генерального параметра .

2) Несмещенность означает, что математическое ожидание оценки при любом фиксированном объеме выборки равно оцениваемому генеральному параметру , то есть:

3) Эффективность означает, что дисперсия оценки, как случайной величины, изменяющейся от выборки к выборке, должна быть либо минимальной из дисперсий всех возможных оценок (аб­солютная эффективность), то есть:

,

либо должна быть меньше, чем дисперсия сравниваемой оценки (от­носительная эффективность). Эффективность, по существу, означает, что при фиксированном объеме N выборки наиболее аффективная оценка позволяет получить, в среднем, меньшее откло­нение от генерального параметра либо, при заданной дисперсии опенки, абсолютно эффективная оценка требует, в среднем, наимень­шего числа N опытов:

Кроме того, точечные оценки сами в себе не несут информации о величине вероятной или максимальной ошибки, допускаемой при то­чечном оценивании. Поэтому для таких целей следует пользоваться интервальными оценками, которые определяются двумя числами (гра­ницами интервала).

26.Докажите смещенность оценки S~{x|.

Смещенная оценка

Смещенная оценка несет в себе два вида погрешностей: случайную и систематическую. в то время как несмещенная оценка имеет только случайную.

(2.34)

причём (2.34) применяют для несгруппированных данных, а для сгруппированных по вариантам:

, (2.34а)

обозначения здесь прежние. Но оценка является смещенной.

Выборочная оценка среднего квадратического отклонения вычисляется по смещенной оценке дисперсии - формула (2.34):

(2.37)

Кроме формулы (3.37), может вычисляться и по формуле, использующей (2.34а) для сгруппированных данных.

27.Что такое статистический критерий? Напишите выражения для статистик Стьюдента, Пирсона, Фишера, Кохрена. Для каких целей применяются эти статистики? Какие еще статистики вы знаете?

Статистическим критерием называют случайную величину, которая служитдля проверки нулевой гипотезы.

Распределение Стьюдента

Стьюдент.установил, что, если случайная величина х распределена нормально, а все элементы случайной выборки о6ъема независимы и равноточны, то статистика:

(2.57)

имеет симметричное распределение, названное t-распределением.

t-распределение применяется в двух случаях: I) когда нужно построить доверительный интервал для математического ожидания и 2) при проверке гипотезы, равно ли некоторому предполагаемому значению с.

Распределение Пирсона

К.Пирсон разработал распределение_, которое получило название - распределение и стало одним из наиболее употребляемых в практике. Если случайная величина распределена нормально, а все элементы случайной выборки объема N независимы и равноточны, то статистика:

, (2.61)

представляющая собой сумму квадратов нормированных элементов случайной величины (причем центрирование здесь выполняется по оценке, математического ожидания, то есть относительно , а нормирование - по генеральному значению ). распределена по закону .

Распределение Пирсона применяется в случаях: I) при построении доверительного интервала для генеральной дисперсии; 2) для проверки гипотезы с согласованности эмпирического, выборочного распределения с гипотетическим нормальным, 3) для проверки гипотезы о равенстве генеральной дисперсии предполагаемому значению с.

F-распределение Фишера

Р.Фишер установил, что в случае двух независимых случайных выборок, объема и (в которых все наблюдения и независимы и равноточны), взятых из двух нормально распределенных генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями, статистика:

, (2.63)

представляющая собой отношение двух несмещенных оценок дисперсий и имеет F-распределение со степенями свободы числителя и знаменателя:

F-распределение Фишера применяется для проверки гипотезы о равенстве двух генеральных дисперсий, а также при построении доверительного интервала для генерального дисперсионного отношения.

Распределение Кохрэна

У. Кохрэн установил, что, если имеется K независимых случайных выборок одинакового объема из нормально распределенной генеральной совокупности, а все измерения независимы и равноточны, то статистика:

, (2.65)

составленная в виде отношения, в числителе которого стоит наибольшая их всех K несмещенных оценок дисперсий , а в знаменателе - сумма всех K оценок дисперсий, - эта статистика распределена по G-закону, со степенями свобода, соответственно, числителя и знаменателя:

G-распределение Кохрэна применяется при проверке гипотезы об однородности групп несмещенных оценок дисперсии, вычисленных по одинаковому числу степеней свободы.

Распределение нормированной нормально распределенной случайной величины при известных генеральных параметрах

Распределение выборочного среднего арифметического

2.7.3. u - распределение

Алгоритм проверки статистической гипотезы обычно следующий:

1) выдвижение нуль-гипотезы ;

2) определение альтернативной гипотезы ;

3) установление реально необходимого уровня значимости q;

4) выбор подходящей g-статистики и ее распределения на основе предположения, что центр распределения совпадает с пред­полагаемым значением g-статистики ();

5) установление критической области (или областей), в зави­симости от определения конкурирующей гипотезы ;

6) вычисление эмпирического значения g-статистики - по данным случайной выборки объема N с независимыми и равно­точными наблюдениями нормально распределенной х;

7) сравнение эмпирического значения с критическим , выбираем из таблиц, как функция соответствующего количества степеней свободы и уровня значимости q;

8) статистический вывод о принятии нуль-гипотезы , как не противоречащей опытным данным, либо о неприятии ее, как про­тиворечащей данным выборки и предпочтении альтернативной гипо­тезы .

Не производстве статические гипотезы позволяют решать следующие задачи:

1) правильно ли налажен технологический процесс? – гипотеза , , где с - уровень настройки оборудования (в большинстве случаев с соответствует значению середины поля допуска);

2) стабилен ли технологический процесс по уровню настройки? - гипотеза , где и - средние выборочные значения, полученные для двух выборок, разделенных интервалом времени;

3) обеспечивается ли выпуск изделий с номинальными значе­ниями параметра на двух различных видах оборудования? – гипотеза , где и вычисляется для выборок, взятых с двух технологических процессов;

4) обеспечивает ли технологический процесс необходимый уровень точности? - гипотеза ,

5) Какой из двух технологических процессов имеет большую точность? - гипотеза при альтернативной , где и вычисляются для двух выборок, взятых с двух технологических процессов;

6) стабилен ли данный технологический процесс по уровню точности? - гипотеза , при альтернативной , где и вычисляются для выборок, взятых через определенный промежуток времени;

и другие.

Подобные вопросы могут ставиться в отношении различных партий продукции, а также при проверке соответствия продукции требованиям нормально-технической документации.

2.9.2. Проверка гипотеза о равенстве предполагаемому значению с, при известной

Рассмотрим задачу в том порядке, который предусмотрен алго­ритмом проверки гипотезы:

1) нуль-гипотеза определена уже в самом заголовке, то есть

2) в качестве альтернативной выбираем гипотезу . Подобная может быть выбрана а двух случаях: либо когда физически может быть меньше с либо когда слу­чай практически не интересен или не имеет практического значения для исследования;

3) устанавливаем уровень значимости (чаще всего );

4) выбираем подходящую статистику, - очевидно, если известна, то таковой является u-статистика;

5) устанавливаем правостороннюю критическую область в соответствии с выбранной альтернативной гипотезой ,

6) получаем выборку объема N, где все - случайны, независимы и равноточны, вычисляем эмпирическое значение u-статистики по формуле (2.55);

7) сравниваем эмпирическое значение u-статистики с критическим и если , то нуль-гипотезу принимаем, как не противоречащую опытным данным, в противном случае - от­вергаем. Критическое значение выбираем по полному уровню значимости и т.к. в табл. П-2 задана нормированная функция , то .

Дата добавления: 2015-04-24