Сформулируйте алгоритм построения доверительных интервалов

Идея и алгоритм построения доверительного интервала состоят в следующем:

1) выбирают подходящую g-статистику;

2) по данным выборки, извлеченной из нормально распределенной генеральной совокупности случайной переменной х и состоящей из N случайных, независимых и равноточных наблюдений, вычисляется оценка генерального параметра распределения , для которого строится доверительный интервал;

3) задаются уровнем значимости , который равен вероятности выхода g-статистики за некоторые критические границы справа и справа на числовой оси g-статистики; эти критические границы выбираются из условия, что площадки под кривой дифференциального закона распределения , лежащие левее и на числовой оси g-статистики, должны быть равны друг другу и в сумме должны составлять q, то есть (см.например, рис. 2.25):

(2.67)

Уровень значимости выбирают таким, чтобы вероятность выхода, g-статистики за пределы критических границ и была достаточно малой (чаще всего употребляют значение );

4) найденные из статистических таблиц, по имеющимся числам степеней свободы и выбранному (или заданному уровню значимости q, критические значения и поочередно приравнивают к вычисленному при этом по данным извлеченной выборки - эмпирическому выражению g-статистики, что и позволяет получить левую и правую границы доверительного интерва­ла.

Изложенный алгоритм поясняется на примерах построения дове­рительных интервалов для математического ожидания и гене­ральной дисперсии при различных исходных условиях. Обратим внимание, что излагаемая методика, с использованием рассмотренных выше типовых статистик исходит из условия, когда исходная случайная величина х распределена нормально, а в выборке объема N все отдельные измерения слу­чайны, независимы и равноточны.

2.8.1. Построение доверительного интервала для , при известной

Построение границ доверительного интервала для математическо­го ожидания , при известной генеральной дисперсии , выполняется с помощью u-статистики (2.55), которая содержится и .Уже было показано, что u-статистика имеет нормированное нормальное распределение. Выбирается подходящий уровень значимости q, который определяет положение крити­ческих на числовой оси u границ слева и спра­ва . Так как нормальное распределение симметрично относитель­но , то u-распределение (как и нормированное нормальное распределение) симметрично относительно точки . Положив в (2.55) , получим, что при этом условии . Далее, положив, в (2.55) , получим:

(2.68)

а для значения :

так как в силу симметричности u-распределения. Отсюда ясно, что границами доверительного интервала для будет интервал ; ; то есть доверительный интервал для симметричен относительно выбороч­ной оценки . В вероятностном виде доверительный интервал можно выразить следующим образом:

(2.69)

где - доверительная вероятность, а находят из таблиц нормального нормированного распределения как функцию уровня значимости q (или доверительной вероятности p):

,

так как часто пользуются таблицами нормированной функции Лапласа, задающей лишь правую половину кривой нормального распределения и выбирают по половине доверительной вероят­ности.

Дата добавления: 2015-04-24