Дифференциальное уравнение показательного роста как математическая модель

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОГО РОСТА КАК МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Дифференциальное уравнение показательного роста и показательного убывания.

Рассмотрим дифференциальное уравнение f'(x) = k * f(x), где k - некоторая константа. Это уравнение показательного роста и показательного убывания.

Решение многих задач физики, техники, биологии и социальных наук сводится к задаче нахождения функций, удовлетворяющих этому дифференциальному уравнению.

Решим это уравнение. Рассмотрим f(x) = y, y' = k*y.

Исходя из определения производной, имеем

dy/dx = k * y

dy = k * y * dx

dy/y = k * dx

Проинтегрируем обе части этого уравнения, получим

ln |y| = k * x + c1,

kx+c1 kx c1 kx

y = e, или y = e * e, или y =c * e

kx

f(x) = c * e,

где c - постоянная. Т.к. c произвольно, у дифференциального уравнения бесконечно много решений.

kx

Проверка: f'(x) = c * k * e

kx kx

c * k * e = k * c * e

Замечание. В приведенных выше рассуждениях мы предполагали, что функция f определена и удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению на всей числовой прямой. В конкретных задачах часто приходится рассматривать функции, удовлетворяющие данному уравнению только на некотором промежутке. Естественно, что в таком случае решение данного дифференциального уравнения будет давать общее решение задачи только на промежутке, на котором выполняется данное дифференциальное уравнение.

Смысл данного дифференциального уравнения заключается в том, что скорость изменения функции в точке x пропорциональна значению самой функции в этой точке. Это уравнение часто встречается при решении задач.

При решении прикладных задач часто в качестве математических моделей встречаются не только конечные, но и дифференциальные уравнения, т.е. такие, в которых неизвестной величиной является не число, а функция, содержащаяся под знаком производной или дифференциала.

Отметим, что нередко фундаментальные законы природы записываются в виде дифференциальных уравнений, например закон Ньютона mx’’(t)=F.

Задача о росте населения

Сначала рассмотрим из разных областей знания задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений.

Задача 1 Население страны возрастает на Р % в год. Найдите численность населения N=N(t) через t лет, если при t=0, N(0)=N_0.

Построим математическую модель, в основание которой положено естественное предположение о том, что скорость роста населения в момент времени t пропорциональна его численности N(t). Но мгновенная скорость изменения величины, зависящей от t, определяется ее производной, тогда как функция N(t) не является даже непрерывной. Поэтому нам необходимо изменить действительную картину роста численности населения так, чтобы сделать возможным применение производной. Эта замена реального процесса на его математическую модель, с использованием производной основана на том, что малому приращению Dt соответствует малое приращение численности населения DN(t). Это позволяет нам говорить о скорости роста в данный момент времени и заменить N(t) близкой к ней дифференцируемой функцией или, еще проще, считать дифференцируемой N(t), значения которой в общем случае принадлежат множеству действительных чисел. Итак,

N`(t)=kN (t) или

N`(t)-kN (t)=0, (1)

Где k – коэффициент пропорциональности. Умножим обе части уравнения (1) на , получим N`(t) или (N(t) )`=0, откуда N (t) -постоянная. Из последнего уравнения имеем:N (t)= Так как N(0)=N₀, то С=N₀ и N(t)=N_{0 .}

Для нахождения коэффициента k воспользуемся тем, что через год, т.е. при t=1 численность населения увеличилась на Р %, тогда получим , т.е. e^k= , откуда k=ln , если значительно меньше 1.

Дата добавления: 2015-04-24