Тема 7. Балансовые модели

Балансовые модели предназначены для анализа и планирования производства и распределения продукции на различных уровнях — от отдельного предприятия до народного хозяйства в целом. Если вспомнить историю народного хозяйства как Советского Союза и России, так и других развитых стран, то можно наблюдать, что в экономики многих государств, в разное время случались экономические кризисы разных крайностей от кризисов перепроизводства (США, середина ХХ века), до дефицита (Россия, конец ХХ века). Все эти экономические кризисы связаны с нарушением баланса между производством и потреблением. Из этих фактов видно, что баланс между произведенной продукцией и потреблением является важными критериями как для макроэкономики, так и для микроэкономики. Экономико-математические модели баланса пытались выстроить многие экономисты и математики с самого начала возникновения проблемы, однако, наиболее полную балансовую модель удалось построить в 1936 г. американским экономи стом В. Леонтьевым (который после революции эмигрировал в США и за свою модель получил Нобелевскую премию в области экономики). Эта модель позволяла рассчитать баланс между несколькими взаимодействующими отраслями, хотя ее можно легко обобщить и для организаций микроэкономики, например, для вычисления баланса между несколькими взаимодействующими предприятиями или между подразделениями одного предприятия (например, цехами одного завода). Цель балансового анализа — ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производ ства каждой из п отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции; а с другой — как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями. Предположим, что рассматривается п отраслей промышленно сти, каждая из которых производит свою продукцию. Пусть общий объем произведенной продукции i -й отрасли равен

. Полная стоимость продукции произведенной i -й отраслью будем называть валовым продуктом этой отрасли. Теперь рассмотрим, на что тратится продукция, производимая отраслью. Часть про дукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и потребление другими отраслями, связанными с этой отраслью. Количество продукции i -й отрасли, предназначенной на для целей конечного потребления (вне сферы материального производства) личного и общественного j -й отраслью обозначим

. Оставшаяся часть предназначена для реализацию во внешнюю сферу. Эта часть называется конечным продуктом. Пусть i -ая отрасль производит

конечного продукта. Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год). Так, как валовой объем продукции любой i -й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то уравнение баланса между производством и потреблением будет иметь вид:

, (i =1,2,…, n) (7.1) Уравнения (1) называются соотношениями баланса. Можно также рассчитать такой показатель, как чистую продукцию

, которая равна разности между валовым продуктом и суммарным потреблением данной отраслью:

. (7.2) Все, ранее рассмотренные показатели, можно записать в основную балансовую таблицу:

В результате, основная балансовая таблица, содержит четыре матрицы: матрица межотраслевых производственных связей

, матрицу валовой продукции

, матрицу конечной продукции

и матрицу чистой продукции

. Одной из задач балансового анализа является определение валового продукта

, если известно распределение конечного

. Для этого введем коэффициенты прямых затрат:

. (7.3) Они получаются в результате деления всех элементов каждого столбца матрицы

на соответствующий элемент матрицы межотраслевых производственных связей Х. Коэффициенты прямых затрат имеют смысл количества потребления продукции j -й отрасли, необходимой для производства единицы продукции i -й отраслью. Из выражения (3) можно получить:

. Подставив последнее выражение в соотношение баланса (1), получим:

. (7.4) Если обозначить матрицу коэффициентов прямых затрат как

, то соотношение баланса (4) в матричном виде можно записать в виде:

. (7.5) Из последнего выражения можно найти значение конечного продукта при известном значении валового:

, (7.6) где

- единичная матрица того же размера, что и А. Пример 1. Баланс четырех отраслей за предыдущий период имеет матрицу межотраслевых производственных связей вида

и матрицу валовой продукции вида

. Необходимо определить конечный продукт Y и чистый продукт C каждой отрасли. Конечный продукт Y получается в результате вычитания из каждого элемента матрицы валовой продукции суммы элементов соответствующих строк матрицы

. Например, первое значение

равно 100-(10+20+15+10)=45. Чистый продукт С получается в результате вычитания из каждого элемента матрицы валовой продукции Х суммы элементов соответствующих столбцов матрицы

. Например, первое значение

равно 100-(10+5+25+20)=40. В результате, получим основную балансовую таблицу:

Поставим теперь другую задачу: рассчитаем конечный продукт каждой отрасли на будущий период, если валовый продукт окажется равным

. Для решения этой задачи найдем коэффициенты прямых затрат:

. По формуле (6) получим

Важнейшей задачей межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат А (или при возможности рассчитать этот показатель) обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. Из уравнения (6) можно выразить валовый продукт:

. (7.7) Матрица

называется матрицей полных затрат. Каждый элемент

матрицы S есть величина валового выпуска продукции j -й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта i -й отрасли. Пример 2. В некотором регионе имеются две основные отрасли народного хозяйства: машиностроение (м/с) и сельское хозяйство (с/х). Баланс этих отраслей за отчетный период определяется матрицами