Теорема 17.2.(Вейерштрасс) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда существуют такие точки , принадлежащие этому отрезку, что

Следствие. Пусть функция непрерывна на отрезке. Тогда существуют точная верхняя грань и точная нижняя грань множества её значений на отрезке.

$ Достаточно применить к множеству значений функции на отрезке теорему о существовании точных граней ограниченного множества.#

$ Докажем часть утверждения теоремы, относящуюся к точной верхней грани множества значений функции на отрезке . Остальная часть доказывается аналогично.

Будем вести доказательство теоремы методом «от противного». Пусть для всех точек отрезка выполняется неравенство . Тогда для всех точек отрезка и функция определена и непрерывна на отрезке . По теореме 17.1 эта функция ограничена на отрезке , следовательно, существует число такое, что для всех точек отрезка выполняются неравенства . Но тогда для всех точек из отрезка выполняется неравенство , или . Это означает, что меньшее, чем , число является верхней гранью множества значений функции на отрезке . Значит, - не точная верхняя грань множества значений функции на отрезке . #

Замечание. Часто эту теорему формулируют так:

Дата добавления: 2015-04-24