Вопрос 14: непрерывность элементарных функций

1. Непрерывность многочленов

Так как функция у = х непрерывна в любой точке, по теореме о непрерывности произведения непрерывных функций, функция у = х ² – непрерывная. Последовательно применяя вышеупомянутую теорему, получаем, что для любого натурального m функция у = x ^m – непрерывна. Умножая непрерывные функции e = x, x ², a ³, …, x ^k на постоянные числа с₁, с₂, …, с_k соответственно, получаем, что c₁ x, c₂ x ², …, c_k x ^k – непрерывные функции. Сложив c₀ + c₁ x + … + c_k x ^k получаем непрерывную функцию. Итак, многочлен – непрерывная на всей прямой функция.

2. Непрерывность рациональной функции

По определению, рациональной функцией R (x) называется отношение двух многочленов, P (x) и Q (x), т. е. R (x) = .

Во всех тех точках x ₀, где Q (x) ≠ 0, функция R (x) непрерывна по теореме о непрерывности частного. Если же в точке x ₀ выполняется равенство Q (x ₀) = 0, то в этой точке может быть устранимый разрыв, как например, в точке x ₀ = 1 у функции . Кроме того, в этой точке может оказаться разрыв второго рода, как, например, в точке x ₀ = 0 у функции .

Для дальнейшего исследования будет полезной следующая теорема.

Теорема 14.1. Пусть y = f(x) возрастает (или убывает) на промежутке X, причём множество её значений образует промежуток Y. Тогда f(x) – непрерывная на X функция.

Для доказательства вспомним, что если f(x) строго монотонна на промежутке X, то, согласно следствию теоремы 10.2, в любой внутренней точке x ₀ этого промежутка существуют и . Если эти числа равны друг другу, то они, ввиду монотонности, равны f(x 0) и f(x)ЄC(x 0). Если же эти значения не равны друг другу, то во множестве значений Y функции f (x) имеется “пробел” между точками и , опять же ввиду монотонности f (x). Но, по условию, множество значений Y образует промежуток, в котором не может быть “пробелов” по определению промежутка. Теорема доказана.

3. Непрерывность показательной функции

Функция y = a^x монотонна (возрастает при a >1, убывает при 0< a <1) и множеством ее значений при x Î является бесконечный промежуток – множество всех положительных чисел. По доказанной теореме, функция y = a^x непрерывна на всей числовой оси.

4. Непрерывность логарифмической функции

Функция log _ax монотонна (возрастает при a >1, убывает при 0< a <1) и при x Î(0,+¥) ее множеств значений есть . По доказанной теореме, y =log _ax непрерывна на (0,+¥).

5. Непрерывность функции y = x ^m

Функция y = x ^m определена при x >0, причем x ^m = e ^{m ln x}. По доказанному, z = m ln x - непрерывная функция при x >0, функция y = e^z непрерывна при всех z, поэтому, по теореме о непрерывности сложной функции, y = x ^m - непрерывная при x >0 функция.

6. Функция y = sin x

При вычислении предела было установлено, что если , то . Ввиду нечетности функций y = x и y = sin x, при . Из этого сразу следует, что при выполняется неравенство . Пусть x ₀ произвольная точка. Докажем, что . Это равносильно тому, что . В свою очередь, это равносильно тому, что . Так как, по доказанному выше, , . Кроме того, функция 2cos , очевидно, ограниченная. По свойствам бесконечно малых, получаем требуемое.

y

7. Функция y = cos x

Она непрерывна по теореме о непрерывности сложной функции, так как , – непрерывная функция и y = sin z – тоже непрерывная функция.

8. Функция y = tg x

Эта функция непрерывна во всех точках, кроме . В этих, последних, она имеет разрыв второго рода.

9. Функция y = ctg x

она непрерывна во всех точках, кроме точек x = pn, nÎ z, где она имеет разрыв второго рода.

10. Непрерывность функции y = a rcsin x

Она определена на отрезке [-1, 1], возрастает на нём и множеством её значений является отрезок [ ]. По доказанной теореме 14.1, y = arcsin x непрерывна на [-1, 1].

11. Непрерывность функции y = arccos x

Следует из тождества arcsin x + arccos x = , т.е. arccos x = - arcsin x - функция, также непрерывная на [-1, 1].

12. Непрерывность функции y = arctg x

Функция определена и возрастаёт на всей числовой прямой. Множество значений – интервал (). Поэтому y = arctg x непрерывна на всей числовой прямой.

13. Непрерывность функции y = arctg x.

Следует из равенства: arctg x + arctg x = .

Вопрос 15:СИМВОЛЫ , . ВЫЧИСЛЕНИЕ , ,

Пусть , определены в .

Определение 15.1. , , если существует , – б. м. при такая, что .

Определение 15.2. , , если существует , – ограниченная в , такая, что .

Примеры.

1) при , т.к. , а ; но

2) , при ∞, т.к. , и при ∞.

Вообще, если и , то и если и ∞ то .

Из свойств бесконечно малых величин следуют такие свойства символов , :

Теорема 15.1. Если , , то ,
; все соотношения выписаны при .

Доказательство. Действительно, , , – б. м. при
и , а .В фигурных скобках стоят бесконечно малые при .

Дата добавления: 2015-04-24