Вопрос 18: равномерная непрерывность

Теорема 17.4. Пусть функция возрастает (убывает) на промежутке. Тогда на промежутке, представляющем собой множество её значений (по теореме 17.3), определена обратная функция, которая также возрастает(убывает) и непрерывна.

◄Ограничимся случаем возрастания. По определению множества значений функции, для любого существует число такое, что . Так как возрастает на , то для любого выполняется неравенство , а для любого выполняется неравенство . Поэтому любое своё значение функция принимает ровно один раз, в точке , что и позволяет определить функцию такую, что для любого выполняется равенство . Легко видеть, функция возрастает на . Действительно, как показано выше, для любого значения соответствуют значениям , а значения соответствуют значениям . Но это означает, что и обратно, для любого значения соответствуют значениям , а значения соответствуют значениям . Наконец, для доказательства непрерывности на промежутке воспользуемся теоремой 14.1. Действительно, функция возрастает на промежутке и её множество значений образует промежуток . ►

Определение 18.1. Пусть функция определена на некотором множестве . Функция называется равномерно непрерывной на множестве , если для любого числа существует такое число , что для всех и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Замечание. Есть важное различие между понятиями равномерной непрерывности на множестве и непрерывности на этом множестве. Из равномерной непрерывности следует непрерывность, но не наоборот. В определении равномерной непрерывности содержится сильное требование о том, чтобы входящее в определение число зависело только от числа . В обычном определении непрерывности на множестве (определение 16.1) это число зависит не только от числа , но ещё и от точки . Поэтому возможно, что общего значения числа , одновременно пригодного для всех , найти не удастся. Однако если в качестве множества рассматривается отрезок числовой оси, то верна такая теорема.

Дата добавления: 2015-04-24