Теорема 19.3. Функция , имеющая производную в точке , дифференци­руема в этой точке

Теорема 19.2. Функция, дифференцируемая в точке, имеет в этой точке производную, и последняя равна коэффициенту в представлении функции по формуле (1).

◄ Согласно определению 1, -- предельная точка области определения функции . В силу формулы (1), для всех. .Так как при , то на основании формулы (2) заключаем, что существует и равна .►

Из единственности предела следует единственность коэффициента в формуле (1). Теорема 19.2 показывает, что функция , дифференцируемая в точке , представима в виде

, (3)

где при .

На основании теоремы 19.2 утверждения примеров 1' - 2' являются следст­виями соответствующих утверждений примеров 1-2. Вместе с тем, пример 3’ показывает, что функция не является дифференцируемой в точке 0.

◄ По условию, существует . Следовательно, по теореме о представлении функции, имеющей предел в точке,

, (4)

где и при . Положим

Тогда также при и по формуле (4') для всех спра­ведлива формула (3). Тем самым, дифференцируема в точке (с коэффи­циентом ).►

Дата добавления: 2015-04-24