Вопрос 23: теоремы Ферма, Ролля. Необходимые условия экстремума

Пусть - некоторая проколотая окрестность точки а.

Определение: Точка а – точка локального максимума f(x), если для всех x выполняется неравенство f(x)<f(a). Если для всех x выполняется неравенство , то говорят о точке нестрогого максимума.

Аналогичным образом определяются точки локального минимума и нестрогого локального минимума. Следует только заменить входящие в определение неравенства неравенствами и , соответственно.

Обобщающие названия для точек максимума и минимума – точки экстремума.

Теорема 23.1(П. Ферма): Пусть функция y=f(x) определена в окрестности точки а, пусть эта точка – точка экстремума (хотя бы нестрогого) для функции f(x) и пусть существует производная Тогда =0.

◄ Рассмотрим, для определенности, случай точки максимума. Тогда для всех x выполняется неравенство f(x)<f(a), или . Если x и х<a, то .

По условию существует производная . Значит, существует . По теореме о предельном переходе в неравенствах, .

Аналогично, при x , х>a выполняется неравенство , поэтому . Так как, = = , должны выполняться неравенства , из которых следует доказываемое равенство =0. ►

Примечание 1. В точке экстремума производная может не существовать. Примером служит функция . Она имеет минимум в точке х=0. однако , и не существует.

Примечание 2. Теорема Ферма дает необходимое условие экстремума, но не достаточное, т.е. производная функции в точке может равняться нулю, а экстремума в этой точке нет. Пример: . Эта функция имеет производную , обращающуюся в ноль при х=0, однако возрастает на всей числовой прямой.

Следствие (необходимые условия экстремума). Если функция непрерывна на (а;b), то точками локального экстремума могут быть только такие точки х₀, в которых производная функции либо не существует, либо обращается в 0.

Дата добавления: 2015-04-24