Вопрос 26. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Теорема 26.1 (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (G.Peano)). Пусть в окрестности точки существуют и непрерывны , … . Пусть существует в и непрерывна в точке

Тогда
при (1 )

◄Используем предыдущую теорему, в которой число заменим числом . Тогда

, где – между и . (2)

При как , так и заключённое между и число стремятся к . Ввиду непрерывности в точке , , где при , т.е. при .

Подставляя в (2), получаем:

,

где при , откуда сразу следует заключение теоремы. ►

Замечание. Вместо формул (7) и (8) предыдущего параграфа имеем, соответственно, при . И

Замечание. Утверждение теоремы останется справедливым, если предположить, что в окрестности точки существуют и непрерывны , … и что существует .

На экзамене это доказывать не требуется, однако ниже приведено доказательство этого утверждения – для тех, кому это интересно.

Доказать его легче всего используя правило Лопиталя (вопрос28).

Дата добавления: 2015-04-24