Вопрос 24:теоремы Лагранжа, Коши. Критерий постоянства функции

Тогда существует точка такая, что.

Следствие теоремы 23.2: Пусть

◄Для функции на отрезке [x₀;x] выполнены все условия теоремы Ролля, поэтому существует точка такая, что .

Рассмотрим функцию на отрезке [x₀;c₁]. Для нее также выполнены все условия теоремы Ролля. Поэтому существует точка с₂, , такая что .

Аналогичными рассуждениями получаем, что существуют точки такие, что Наконец, рассмотрим функцию на отрезке [x₀;c_n]. она тоже удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, т.к. существует на (x₀; ), значит и на (x₀;c_n). Поэтому, по теореме Ролля, существует точка такая, что .►

Замечание 2. Геометрический смысл теоремы Ролля: при ее условиях есть хотя бы одна точка с на интервале (а;b), касательная в которой параллельна оси x.

Теорема 24.1 (Лагранж) Пусть f(x) C[a, b], f(x) D(a, b). Тогда существует точка с (а, b) такая, что f(b)-f(a) = f′ (c)(b-a).

◄Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) – f(a) - . F(x) С[a, b], F(x) D(a, b), так как F(x) отличается от f(x) лишь слагаемыми, совокупность которых представляет собой линейную функцию от х, которая всюду непрерывна и дифференцируема. При этом F′(x) = f′ (x) - . (1)

Вычислим F(a) = f(a) – f(a) - (a – a) = 0. Аналогично, F(b) = f(b) – f(a) - (b – a) = f(b) (a) – f(b) + f(a) = 0.

Итак, все условия теоремы Ролля верны для функции F(x). Поэтому существует точка с (а, b) такая, что F′(c) = 0. С учётом формулы (1),
f′(c) - = 0,

что равносильно доказываемому равенству f(b) – f(a) = f′(c)(b-a).►

Замечание 1. Доказанную теорему также называют теоремой о среднем значении, а полученную в ней формулу – формулой конечных приращений.

Замечание 2. Если a›b и f(x) C[b, a], f(x) D(b, a), то существует точка с (b, a) такая, что

f(a) – f(b) = f′(c)(b – a).

Но это равенство можно записать так:

f(b) – f(a) = f′(c)(b – a).

Это означает, что формула конечных приращений верна как в случае a‹b, так и в случае a›b.

Замечание 3. Часто рассматривают точку х, приращение х (причём, согласно примечанию 2, возможно, что х‹0) и функцию f,непрерывную на отрезке, соединяющем точки х и х + х и дифференцируемую хотя бы на этом интервале. Тогда доказанную формулу можно переписать в виде

f(x) = f(x + x) – f(x) = f′(ξ) x, (2)

где ξ – точка, лежащая между х и х + х. Так как для любой точки ξ между х и х + х существует число θ, 0‹ θ ‹1 такое, что ξ = x + θ x, формулу (2) записывают также в виде f(x) = f′(x + θ x) x

Дата добавления: 2015-04-24