Вопрос 29: монотонность функции. Достаточные условия экстремума функции

Теорема 28.5+26.2. Пусть в окрестности точки существуют и непрерывны, … и пусть существует. Тогда при.

.

Теоремы 28.3 и 28.4 даны БЕЗ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. На экзамене следует знать их формулировки.

Правило Лопиталя позволяет доказать замечание, сделанное в конце 26 вопроса.

◄ Обозначим , и рассмотрим отношение . По правилу Лопиталя(теореме 28.1), применённому раз, имеем

.Из определения следует, что . Поэтому

.Это означает, что = , что и требовалось доказать. ►

Напомним основные определения 10.1’.

Определение 29.1 Функция , определенная на промежутке , возрастает на этом промежутке, если для любых , имеет место неравенство .

Функция , определенная на промежутке , не убывает на , если для любых , имеет место неравенство .

Функция , определенная на промежутке , убывает на , если для любых , имеет место неравенство .

Функция , определенная на промежутке , не возрастает на , если для любых , имеет место неравенство .

Общее название рассмотренных функций - монотонные функции.

Ясно, что если функция возрастает на , то она, тем более, не убывает на (но не наоборот). Аналогичное замечание справедливо для убывающей функции.

Общее название возрастающих, убывающих функций – строго монотонные функции.

Дата добавления: 2015-04-24