Вопрос 30. Функции спроса торнквиста. Функция полезности. Выпуклость графикафункции

Если же n – нечётное число, то в точке экстремума нет.

Теорема 29.5. Пусть, существует в и. Пусть точка такова, что, а. Тогда если n – чётное число, то в точке есть экстремум, минимум при, максимум при.

◄Аналогично предыдущей теореме, получаем равенство , где при , из которого точно так же следует, что знак приращения совпадает со знаком при условии .

Если n – чётное число, то, как и в предыдущей теореме, как для , так и для , поэтому знак приращения совпадает со знаком и заключение теоремы становится очевидным.

Если же n – нечётное число, то величина положительна при и отрицательна при , поэтому приращение меняет свой знак в произвольной окрестности точки , следовательно, в точке нет экстремума. ►

1. Функции Л.Торнквиста.

Функции Л.Торнквиста характеризуют спрос на различные товары в зависимости от доходов. Они имеют вид:

1) , , и рассматриваются при , . Для групп товаров первой необходимости , второй необходимости .Исследуем функцию . Для неё , для всех , т.к. , .

Вычислим , т.к. , , .

Это означает, что возрастает и выпукла вверх при . Функция имеет горизонтальную асимптоту

, показывающую уровень насыщения.

График функции: т.е. это часть графика обычной гиперболы!

2) , , , . Эта функция характеризует спрос на предметы роскоши.

.

Найдём асимптоту функции .

. Это - угловой коэффициент асимптоты .

Коэффициент равен:

.

Итак, рассматриваемая функция имеет асимптоту: .

Найдём производную:

.

Эта производная всюду в рассматриваемой области, т.к. , . Поэтому возрастает.

Далее, при , т.е. функция выпукла вверх.

Её график имеет вид:

Дата добавления: 2015-04-24