Теорема 29.4. Пусть , существует в и . Пусть такова, что , Тогда если , то - точка максимума, если , то - точка минимума

Теорема 29.3. Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности и пусть для всех и для всех. Тогда - точки минимума. Если же для всех и для всех, то - точка максимума.

◄Проведём доказательство для точки минимума. Пусть , и .

Если , то применим теорему Лагранжа к отрезку :

.

Если , то применим теорему Лагранжа к отрезку :

,

Поэтому . Таким образом, - точка минимума.►

◄Условия теоремы дают возможность применить формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, т.е. теорему 26.1, согласно которой, с учётом равенства , имеем:

, где при .

Пусть . Так как при , существует такое, что для любых : выполняется неравенство .

Это означает, что модуль второго слагаемого в сумме не превосходит половины модуля первого слагаемого, т.е. , поэтому знак этой суммы совпадает со знаком . Но знак этой величины совпадает со знаком как при , так и при , так как . Следовательно, приращение не меняет знак в окрестности точки , и знак его совпадает со знаком . Это и означает, что если , то - точка максимума, а если , то - точка минимума.►

Ещё более тонкий достаточный признак экстремума содержится в следующей теореме.

Дата добавления: 2015-04-24