Доказательство. Второй дифференциал функции

Теорема 41.1

Вопрос 41. Формулы Тейлора.

Второй дифференциал функции.

Вернемся к формуле (2). Она означает, что второй дифференциал является квадратичной формой от переменных . Как известно из курса алгебры, квадратичной форме сопоставляется матрица квадратичной формы, в рассматриваемом случае имеющая вид

и называемая иногда матрицей Гессе.

Пусть функция имеет непрерывные производные до порядка и включительно в окрестности точки и непрерывные производные порядка в . Тогда для любой точки существует число , такое, что (1),

где все дифференциалы вычислены при (2).

Соединим в пространстве точку с точкой прямолинейным отрезком; запишем параметрические уравнения этого отрезка: любая его точка имеет вид (3).

При получаем , при получаем .

Рассмотрим функцию одной переменной , определенную на отрезке . Уравнение (3) представляет собой случай уравнения (6) из вопроса 40.

Поэтому, при вычислении получаем, в соответствии с (3),(4) и (6) из вопроса 40, что , . (4)

Осталось применить к функции теорему 25.1, точнее, формулу (8) из вопроса 25:

(6)

Подставляя в (6) из (4) и (5), получаем утверждение теоремы.

Дата добавления: 2015-04-24