Достаточные условия экстремума

Пример.

. Эта точка, очевидно, точка минимума, т.к. если хотя бы одно из чисел , было отлично от 0, величина . Но и , поэтому частные производные в точках и не существуют.

Замечание.

Если все частные производные в точке экстремума существуют, то все они равны 0 и , а также , как функция от .

Замечание.

В точке экстремума дифференцируемой функции касательная плоскость параллельна плоскости .

Сначала мы изложим схему исследования функции на экстремум. Прежде всего, найдем стационарные точки , т. е. такие, что (или ). Затем, предполагая, что имеет частные производные до 2-го порядка включительно, непрерывные в стационарных точках, применим в этих точках формулу Тейлора
, где при .

(Поскольку - точка, близкая к 0, а производные 2-го порядка непрерывные и .) Таким образом, знак приращения совпадает со знаком 2-го дифференциала. Второй дифференциал есть квадратичная форма от . Если это – положительно определенная форма, то и в точке - минимум. Если отрицательно определенная, то - максимум. Если форма неопределенная (т.е. меняет знак), то экстремума нет. Для выяснения вопроса определенности формы можно использовать критерий Сильвестра из курса линейной алгебры.

Для этого следует рассмотреть определитель(гессиан)

,
где обозначают производные и его главные миноры, т.е. , ,
.

Если все эти миноры положительные, то - точка минимума.
Если знаки этих миноров чередуются, начиная со знака «-» - то - точка максимума.

В двумерном случае имеем геометрическую иллюстрацию. При данных условиях в окресности точки экстремума график функции имеет вид «почти» эллиптического параболоида:

В случае точки минимума

В случае точки максимума

Если же график «почти» гиперболического параболоида (седло), то экстремума нет.

Дата добавления: 2015-04-24