Доказательство. Билет 42. Экстремумы функций нескольких переменных

Теорема.

Билет 42. Экстремумы функций нескольких переменных.

Теорема 41.2

Пусть функция имеет непрерывные производные до порядка включительно в точки . Тогда , где .

Для доказательства достаточно использовать теорему 26.1 вопроса 26.

Пусть определена в окрестности точки . Будем говорить, что - точка минимума (строгого), если для всех из некоторой проколотой окрестности . Точка - точка минимума, если для всех . Точки минимума обычно называются точками экстремума.

Если - точка экстремума и существует , то .

Рассмотрим точки, у которых все координаты, кроме i - ой фиксированы и равны координатам точки , а координата меняется. Тогда функцию можно рассматривать как функцию от этой точки. Поэтому производная этой функции равна 0. Вместе с тем она, по определению, есть . Теорема доказана.

Замечание.

Разумеется, в точке экстремума частные производные могут и не существовать.

Дата добавления: 2015-04-24