Теоремы о первообразных

М. 2002г.

В лекционном изложении

Краткий курс математического анализа

Галкин С. В.

Исследовать сходимость ряда.

Вычислить приближенно, используя дифференциал функции.

Исследовать функцию и построить ее график.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

1) на

2) на

3) на

4) на

5) на

6) на

7) на

8) на

9) на

10) на

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) cos 0,1, 8) ,

9) , 10) .

9. Найти неопределенный интеграл:

а)

1) 2) ;

3) ; 4) ;

5) 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

б)

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) .

в)

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) .

10. В примерах задания 9 вычислить определенные интегралы в пределах:

а)

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) .

б)

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) .

в)

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 10)

11. Решить дифференциальные уравнения:

а)

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

9) ;

10) ;

б)

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

12. Решить краевую задачу для уравнения 2-го порядка:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) .

14. Найти области сходимости рядов:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) .

15. Разложить в ряд Маклорена:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

16. Вычислить приближенно с точностью ε:

1) cos50º, ε=0,0001, 2) , ε=0,001;

3) , ε=0,0001; 4) , ε=0,0001;

5) , ε=0,001; 6) cos50º, ε=0,0001.

7) , ε=0,001; 8) sin10º, ε=0,0001;

9) , ε=0,001; 10) ln2, ε=0,00001;

для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана

(второй семестр)

Лекция 1 Неопределенный интеграл, таблица интегралов.

Функция называется первообразной для функции , если .

Теорема. Если - первообразная для функции , то ( - константа) - тоже первообразная для функции .

Доказательство. .

Теорема. Пусть - две первообразных для функции , тогда они различаются на некоторую константу ( - константа).

Рассмотрим функцию , она непрерывна и дифференцируема на всей числовой оси, как и функции . Тогда для любых конечных значений по формуле конечных приращений Лагранжа .

Следовательно,

Неопределенным интегралом (интеграл от функции по ) называется совокупность всех первообразных функций для функции .

.

Функция , стоящая под знаком интеграла, называется подинтегральной функцией, а выражение - подинтегральным выражением..

Дата добавления: 2015-04-24