Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод разложения (непосредственного интегрирования)

Основные методы вычисления определенных интегралов

Этот метод основан на использовании свойств определенного интеграла, знании формул простейших неопределенных интегралов и применении формулы Ньютона-Лейбница.

Пример 10. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Воспользуемся свойствами (3) и (4) определенных интегралов:

.

Первообразные для подынтегральных функций найдем с помощью формул простейших определенных интегралов. Далее, используя формулу Ньютона-Лейбница, получим

.

Этот метод основан на замене переменной интегрирования в определенном интеграле с целью свести его вычисление к вычислению такого определенного интеграла, который может быть вычислен методом разложения.

Пример 11. Вычислить интеграл .

Решение. Введем новую переменную ; Тогда , откуда .

При замене переменной интегрирования в определенном интеграле необходимо одновременно заменить пределы интегрирования на соответствующие. Имеем: при , при . Отсюда следует, что новым нижним пределом интегрирования будет значение 2, а новым верхним – значение 6. Таким образом

.

Замечание. Если при замене переменной в неопределенном интеграле мы от новой переменной возвращались к первоначальной переменной , то при замене переменной в определенном интеграле в этом нет необходимости.

Дата добавления: 2015-04-24