Тема 6. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора и ряд Тейлора

Пусть функция в некоторой области R ⁿ имеет частные производные , по всем переменным. Частной производной второго порядка функции называется частная производная по переменной , от частной производной , и обозначаются или .

Если , то вместо пишут . Если , то частные производные и называют смешанными частными производными.

Пусть функция в некоторой области R ⁿ имеет частные производные до порядка включительно по всем переменным. Частной производной -го порядка функции называется частная производная по переменной , , от любой частной производной порядка . Например, функция имеет следующие частные производные третьего порядка

, , и т.д.

Пусть функция в некоторой области R ⁿ имеет частные производные до порядка включительно по всем переменным. Функция называется раз дифференцируемой в некоторой области , если все ее частные производные до порядка включительно являются дифференцируемыми функциями.

Функция называется раз непрерывно дифференцируемой в некоторой области , если все ее частные производные до порядка включительно являются непрерывными функциями.

Теорема 1. Если две смешанные частные производные порядка , отличающиеся лишь порядком дифференцирования, непрерывны в некоторой точке, то их значения в этой точке равны.

Пусть функция дважды дифференцируема в некоторой области R ². Тогда ее дифференциал (дифференциал первого порядка), как известно, равен

, .

(1)

Дифференциал от дифференциала (1) вычисленный в точке при тех же приращениях и , что и дифференциал (1), называют дифференциалом второго порядка (вторым дифференциалом) функции и обозначают , .

Таким образом, по определению .

Теорема 2. Если функция дважды дифференцируема в точке , то дифференциал второго порядка выражается через частные производные второго порядка формулой

,

(2)

где .

Пусть функция является раз дифференцируемой в некоторой области . Дифференциалом -го порядка функции в точке называется дифференциал первого порядка в точке от дифференциала порядка , вычисленный при тех же приращениях независимых переменных, что и дифференциал порядка . Таким образом, по определению имеем

.

Для дифференциала -го порядка при сделанных предположениях справедлива формула

.

(3)

Определение дифференциала -го порядка, введенное для функции двух переменных, естественным образом распространяется на случай функции () переменных .

Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных не обладают свойством инвариантности формы записи. Это означает, что для функции в случае, когда и - зависимые переменные, формула (2) не имеет места.

Теорема 3. Пусть функции и имеют непрерывные частные производные до второго порядка включительно в окрестности точки , а функция – в окрестности соответствующей точки , где , . Тогда для дифференциала сложной функции в точке справедливо равенство

.

(4)

Формула (4) отличается от формулы (2) последними двумя слагаемыми, в которых и представляют собой дифференциалы функций и и, вообще говоря, не равны тождественно нулю.

Замечание. В случае, когда переменные и линейно зависят от переменных и или являются независимыми переменными, и , а формула (4) принимает вид формулы (2), т.е. форма записи сохраняется.

Дата добавления: 2015-04-24