Равносильность при тождественных преобразованиях

На множестве целых чисел

Первое уравнение имеет два корня:

Второе уравнение имеет также два корня:

M = N - уравнения равносильны.

Ответ: равносильны.

При замене одного уравнения другим, более простым часто приходится выполнять тождественные преобразования. Всегда ли при выполнении тождественных преобразований получим уравнение, равносильное данному.

Пусть дано уравнение

= , (1)

с множеством допустимых значений неизвестных После выполнения тождественных преобразований в одной или в обеих его частях получили уравнение

= , (2)

с множеством допустимых значений неизвестных Если при этом:

1) то уравнения (1) и (2) равносильны.

2) - множество допустимых значений " расширилось ", тогда уравнение (2) может иметь посторонние для уравнения (1) корни, принадлежащие множеству если таких решений не окажется, то уравнения (1) и (2) равносильны.

3) - множество допустимых значений " сузилось", тогда в множестве решений уравнения (2) могут не войти решения уравнения (1), принадлежащие множеству если потери решений не произойдет, тогда уравнения (1) и (2) равносильны.

4) с одной стороны, обогащается новыми значениями, а с другой стороны, теряет некоторые из них, тогда уравнение (2) может быть неравносильно уравнению (1) как в силу потери корней, так и приобретения решений, посторонних для уравнения (1).

Примеры нарушения равносильности уравнений, вызванных тождественными преобразованиями.

1) (1) и (2)

Решение

Область допустимых значений уравнения (1):

или

Область допустимых значений уравнения (2):

см. рис. 1.

Рис. 1

Тождественное преобразование расширило область допустимых значений - множество значит возможно появление посторонних корней.

Проверим это. Уравнение (1) и (2) имеют корни

Уравнению (1) удовлетворяет только один корень

Уравнению (2) удовлетворяют два корня Причем принадлежит множеству , т. е. как раз тому множеству, на которое расширилось множество Таким образом, в результате тождественных преобразований, произошло расширение области допустимых значений переменной x и появился посторонний корень.

Обратите внимание на ниже приводимый пример!

В таких примерах абитуриенты и учащиеся очень часто допускают ошибки!

2) (1) и (2)

Решение

Область допустимых значений первого уравнения:

Область допустимых значений второго уравнения:

Область допустимых значений при тождественном преобразовании "сузилась", поэтому возможна потеря корней. Проверим, так ли это.

Первое уравнение имеет корни:

Второе уравнение имеет один корень:

Мы получили неравносильные уравнения, причем "потерян" один корень, который как раз и принадлежит разности множеств:

Ответ: уравнения не равносильны.

3) (1) (2)

(3)

Решение

Область допустимых значений первого уравнения:

Систему неравенств решим методом промежутков (см. рис. 2):

Рис. 2

Область допустимых значений второго уравнения:

Область допустимых значений третьего уравнения:

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) область допустимых значений сузилась, при переходе от уравнения (2) к уравнению (3) область допустимых значений расширилась. Возможна потеря корней в первом случае и появление посторонних при переходе от уравнения (2) к уравнению (3).

Проверим равносильность уравнений.

Уравнение (1) имеет корни:

Уравнение (2) не имеет корней. Уравнение (3) имеет один корень:

Сразу можно сказать, что уравнения не равносильны.

Ответ: не равносильны.

Дата добавления: 2015-04-24