Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Й способ

Проверка

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение:

Решение

Положим тогда Получим систему уравнений, из которой исключим x:

Заменяя в данном уравнении и получим уравнение

Объединим два полученных уравнения в систему и решим ее:

Решим полученное уравнение

Отсюда получаем:

Ответ:

При решении иррациональных уравнений этим способом надо иметь в виду следующие теоремы о равносильности уравнений.

Теорема 1. Уравнение равносильно на множестве действительных чисел уравнению

Теорема 2. Уравнение равносильно на множестве действительных чисел смешанной системе

При решении уравнений этим способом множество допустимых значений неизвестных может расшириться. Это иногда приводит к появлению посторонних решений, которые не будут принадлежать множеству допустимых значений неизвестных.

Кроме того, если при возведении обеих частей уравнения в четную степень не накладывать условия (теорема 2), тогда могут появиться посторонние решения, принадлежащие области допустимых значений неизвестного данного уравнения. В этом случае необходимо делать проверку корней, принадлежащих области допустимых значений неизвестных подстановкой их в данное уравнение.

Пример 1. Решить уравнение:

Решение

Найдем область допустимых значений переменной

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим

не входит в область допустимых значений .

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение на множестве действительных чисел

Решение

Дата добавления: 2015-04-24