Возможные случаи решения линейных уравнений с параметрами

Линейные уравнения с параметрами

Проверка

- является корнем уравнения.

Ответ:

Пример 5. Решить уравнение:

Решение

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

Преобразуем уравнение

не входит в ОДЗ и не является корнем уравнения.

- является корнем уравнения.

Ответ: x = 3.

Задание 3

Решите уравнения на множестве действительных чисел.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Определение. Уравнения вида, где x - переменная, f(a) и g(a) - некоторые функции, зависящие от a, называется линейным с параметром a.

1. Если тогда уравнение примет вид которое имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

2. Если тогда уравнение примет вид , которое не имеет решений.

3. Если тогда уравнение имеет единственное решение

Пример 1. Решить уравнение на множестве действительных чисел

Решение

Преобразуем уравнение:

В данном случае f(a) = a - 3, g(a) = 3a.

1. Если f(a) = 0, a - 3 = 0, тогда уравнение примет вид: Оно не имеет решений.

2. Если тогда уравнение имеет единственное решение

Ответ:

1. Если тогда уравнение не имеет решений.

2. Если тогда уравнение имеет ед. решение

Пример 2. Решить уравнение

Решение

Преобразуем уравнение:

Здесь f(m) = m(m - 3) и g(m) = m - 3.

1. Если f(m) = 0, m(m - 3) = 0, m = 0, m = 3:

а) при m = 3, уравнение примет вид: которое имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число;

б) при m = 0, уравнение примет вид: которое не имеет решений.

2. Если тогда уравнение имеет единственное решение

Ответ:

1. Если m = 3, тогда уравнение имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

2. Если m = 0, тогда уравнение не имеет решений.

3. Если то уравнение имеет единственное решение

Пример 3. Решите уравнение

Решение

В этом уравнении функция f(a) имеет вид . Разложим на множители двучлен , получим

Функция g(a) является квадратным трехчленом . Разложим его на множители.

Трехчлен имеет корни , тогда

1. Если , т. е. , , тогда уравнение примет вид:

1) При , получаем , значит уравнение не имеет корней.

2) При , получаем , значит уравнение имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

2. Если и , тогда уравнение имеет единственное решение:

Ответ:

1. Если , то уравнение не имеет корней.

2. Если , то уравнение имеет бесконечное множество решений.

3. Если и , то уравнение имеет единственное решение:

Пример 4.

Решение

Область допустимых значений параметра. При уравнение не определено.

Пусть

Преобразуем уравнение:

7(x - 1) - a(ax - 1) + 2(a + 2)(1 - x) = 0 или

(a - 1)(a + 3)x = 3(a - 1), f(a) = (a - 1)(a + 3), g(a) = 3(a - 1).

1. Если f(a) = 0, a = 1, a = -3.

а) При a = 1, уравнение примет вид уравнение имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

б) При a = -3, уравнение примет вид оно не имеет решений.

2. Если тогда уравнение имеет единственное решение

3. В области допустимых значений переменной установлено, что и При a = 0 и при a = -2 уравнение не имеет корней.

Ответ:

1. При a = 1, уравнение имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

2. При a = 0, a = -2, a = -3, уравнение не имеет решений.

3. Если тогда уравнение имеет единственное решение

Пример 5. Решите уравнение

Решение

Преобразуем уравнение:

1. Если тогда уравнение имеет единственное решение

2. Если a = 0, тогда уравнение примет вид:

1) если тогда уравнение не имеет решений;

2) если b = 0, тогда уравнение имеет бесконечное множество решений,

x - любое действительное число.

3. Если a = 2, тогда уравнение примет вид:

1) если тогда уравнение не имеет решений;

2) если тогда уравнение имеет бесконечное множество решений,

x - любое действительное число.

Ответ:

1. Если тогда уравнение имеет единственное решение

2. Если a = 0, но и если a = 0, но тогда уравнение не имеет корней.

3. Если a = 0, b = 0 и если a = 2, тогда уравнение имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

Пример 6.

Решение

Преобразуем уравнение

1. Если a = 1, тогда уравнение примет вид:

если то уравнение имеет бесконечное множество решений;

если то уравнение не имеет решений.

2. Если b = 2, тогда уравнение примет вид:

если a = 4, то уравнение имеет бесконечное множество решений;

если то уравнение не имеет корней.

3. Если и , тогда уравнение имеет единственное решение

Ответ:

1. Если и , тогда уравнение имеет единственное решение

2. Если и или и , тогда уравнение имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

3. Если и или и , тогда уравнение не имеет корней.

Задание 1

Решить уравнения.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

Пример 6* Решить уравнение:

Решение

Преобразуем уравнение:

Если то уравнение имеет единственное решение

Если то уравнение имеет бесконечное множество решений, т. е. удовлетворяется при любом действительном значении x.

Ответ:

1. Если то уравнение имеет единственное решение

2. Если то уравнение имеет бесконечное множество решений, т. е. удовлетворяется при любом действительном значении x.

Дата добавления: 2015-04-24