КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Свойства группы
1°. В группе G нейтральный элемент и симметричный элемент. Доказательство следует из теорем 1 и 2. 2°. Для уравнения имеют единственное решение: , . Доказательство. Покажем, что – решение уравнения . Имеем: , т.е. − решение. Если z – другое решение, то после умножения слева на x – единственное решение. Аналогично для другого уравнения. 3°. Закон сокращения в группе. Если . Доказательство следует из свойства 2°. Важный пример (группа перестановок степени ). Пусть − произвольное множество из элементов; например, Определение 8. Перестановкой степени называетсявзаимнооднозначное отображение множества в . Множество всех перестановок степени обозначается . Каждую перестановку будем в дальнейшем обозначать строчной буквой греческого алфавита: Перестановка изображается двурядным символом: . Такой символ обозначает отображение Лемма 1. Число различных перестановок степени равно Доказательство. В качестве первого элемента можно выбрать любой из элементов, в качестве второго − любой из оставшихся элементов, и т.д. Всего различных возможностей выбора Таким образом, ■ На множестве перестановок вводится операция умножения по формуле Например, если то Лемма 2. Множество образует группу, не являющуюся коммутативной. Доказательство. Вначале проверим ассоциативность умножения. Пусть и Тогда по определению легко проверить выполнение равенства Тождественная перестановка является нейтральным элементом в рассматриваемом множестве, симметричный элемент получается перестановкой строк. Некоммутативность легко проверяется на предыдущем примере.■ Замечание. Если и − коммутативная операция, то таблица Кэли симметрична относительно диагонали.
3°.Кольцо, свойства кольца. В алгебре изучаются множества и с несколькими, например, с двумя, алгебраическими операциями. Определение 9. Непустое множество называется кольцом и обозначается , если выполняются условия: 1) (K;+) – абелева группа. 2) умножение ассоциативно, т.е. 3) умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е. , . Кольцо называется коммутативным (понятия абелева кольца нет!!!), если умножение коммутативно. Если относительно умножения существует нейтральный элемент, то кольцо называется кольцом с единицей.
Дата добавления: 2015-04-25; Просмотров: 486; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |