Примеры решения задач 2 страница. 79. Импульс релятивистской частицы .Определить скорость частицы (в долях скорости света)

79. Импульс релятивистской частицы .Определить скорость частицы (в долях скорости света).

80. Электрон движется со скоростью . Определить релятивистский импульс электрона.

ГИДРОДИНАМИКА

· Расход жидкости в трубке тока:

а) объемный расход ;

б) массовый расход , где S – площадь поперечного сечения трубки тока; v – скорость жидкости; – ее плотность.

· Уравнение неразрывности струи:

,

где S ₁ и S ₂ – площади поперечного сечения трубки тока в двух местах; v ₁ и v ₂ – соответствующие скорости течений.

· Уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости в общем случае

,

где p ₁ и p ₂ – статические давления жидкости в двух сечениях трубки тока; v ₁ и v _{2 –}скорости жидкости в этих сечениях; и – динамические давления жидкости в этих же сечениях; h ₁и h ₂ – высоты их над некоторым уровнем; и – гидростатические давления.

· Скорость течения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде:

,

где h — глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.

· Формула Пуазейля. Объем жидкости (газа), протекающей за время t через длинную трубку:

,

где r — радиус трубки; l – ее длина; Δ p – разность давлений на концах трубки; η – динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения) жидкости.

· Число Рейнольдса для потока жидкости в длинных трубках:

,

где < v > – средняя по сечению скорость течения жидкости; d – диаметр трубки, и для движения шарика в жидкости:

,

где v – скорость шарика; d— его диаметр.

Число Рейнольдса Re есть функция скорости v тела, линейной величины l, определяющей размеры тела, плотности и динамической вязкости η жидкости, т. е. .

При малых значениях чисел Рейнольдса, меньших некоторого критического значения , движение жидкости является ламинарным. При значениях движение жидкости переходит в турбулентное.

Критическое число Рейнольдса для движения шарика в жидкости ; для потока жидкости в длинных трубках .

· Формула Стокса. Сила сопротивления F, действующаясо стороны потока жидкости на медленно движущийся в ней шарик:

,

где r – радиус шарика; v – его скорость.

Формула справедлива для скоростей, при которых число Рейнольдса много меньше единицы ().

УПРУГИЕ ДЕФОРМАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

• Относительная деформация при продольном растяжении или сжатии тела:

,

где — относительное удлинение (сжатие); x — абсолютное удлинение (рис. 4.1); l — начальная длина тела.

Относительная деформация при сдвиге определяется из формулы:

,

где — относительный сдвиг; Δ s — абсолютный сдвиг параллельных слоев тела относительно друг друга; h — расстояние между- слоями; — угол сдвига. (Для малых углов )

• Напряжение нормальное:

,

где — упругая сила, перпендикулярная поперечному сечению тела; S — площадь этого сечения.

Напряжение тангенциальное:

,

где — упругая сила, действующая вдоль слоя тела; S — площадь этого слоя.

• Закон Гука для продольного растяжения или сжатия:

или ,

где k — коэффициент упругости (в случае пружины — жесткость); Е — модуль Юнга.

Закон Гука для сдвига:

,

где G — модуль поперечной упругости (модуль сдвига).

• Момент, закручивающий на угол φ однородный круглый стержень:

,

где — постоянная кручения.

• Потенциальная энергия растянутого или сжатого стержня при однородной деформации:

или ;

при неоднородной деформации:

где V — объем тела; объемная плотность энергии растянутого или сжатого стержня

ЗАКОНЫ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ

· Количество вещества — число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т. п), содержащихся в системе или теле. Количество вещества выражается в молях. Моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в изотопе углерода массой 0,012 кг. Количество вещества:

= N / N_A

где N — число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т.п.), составляющих тело (систему); N_A — постоянная Авогадро:

N_A =6,02×10²³ моль^-1.

· Молярная масса вещества:

,

где m — масса однородного тела (системы); — количество вещества этого тела.

· Относительная молекулярная масса вещества:

,

где n_i — число атомов i -го химического элемента, входящего в состав молекулы данного вещества; — относительная атомная масса этого элемента. Относительные атомные массы приводятся в таблице Д. И. Менделеева.

· Связь молярной массы М с относительной молекулярной массой M_r вещества:

,

где k =10^-3 кг/моль.

· Молярная масса смеси газов

,

где m_i — масса i -го компонента смеси; v_i — количество вещества i -го компонента смеси; k — число компонентов смеси.

· Массовая доля i -го компонента смеси газов

,

где m_i — масса i -го компонента смеси; m — масса смеси.

· Уравнение состояния идеальных газов (уравнение Клапейрона — Менделеева)

или ,

где m — масса газа; М — его молярная масса; R — молярная газовая постоянная; Т — термодинамическая температура; — количество вещества.

· Закон Дальтона:

,

где p — давление смеси газов; p_i — парциальное давление i -го компонента смеси; k — число компонентов смеси.

· Концентрация частиц (молекул, атомов и т. п.) однородной системы

,

где V — объем системы.

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

· Связь между молярной () и удельной (с) теплоемкостями газа

,где М — молярная масса газа.

· Молярные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении соответственно равны (в целях упрощения записи в индексах обозначений молярной теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме букву «» будем опускать)

; ,

где для газа одноатомных молекул, для газа двухатомных молекул, для газа трех- и более атомных молекул; — молярная газовая постоянная.

· Уравнение Майера

.

· Показатель адиабаты

.

· Внутренняя энергия идеального газа

,

где — количество вещества.

· Работа, связанная с изменением объема газа, в общем случае вычисляется по формуле

,

где V ₁ — начальный объем газа; V ₂ — его конечный объем.

Работа газа:

а) при изобарном процессе (p =const)

;

б) при изотермическом процессе (T =const)

;

в) при адиабатном процессе

, или ,

где T ₁ — начальная температура газа; T ₂ — его конечная температура.

· Уравнение Пуассона (уравнение газового состояния при адиабатном процессе)

.

· Связь между начальным и конечным значениями параметров состояний газа при адиабатном процессе:

.

· Первое начало термодинамики в общем случае записывается в виде

Q=DU+A,

где Q – количество теплоты, сообщённое газу; DU —изменение его внутренней энергии; А — работа, совершаемая газом против внешних сил.

Первое начало термодинамики:

а) при изобарном процессе

б) при изохорном процессе (A =0)

;

в) при изотермическом процессе (D U =0)

,

г) при адиабатном процессе (Q =0)

· Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла в общем случае

,

где Q ₁ – количество теплоты, полученное рабочим телом (газом) от нагревателя; Q ₂ – количество теплоты, переданное рабочим телом охладителю.

КПД цикла Карно

, или ,

где T ₁ — температура нагревателя; T ₂ — температура охладителя.

· Изменение энтропии

где A и B — пределы интегрирования, соответствующие начальному и конечному состояниям системы. Так как процесс равновесный, то интегрирование проводится по любому пути.

Пример 1. Вода подается в фонтан из большого цилиндрического бака (рис. 19) и бьет из отверстия II—II со скоростью v₂= 12 м/с. Диаметр D бака равен 2м, диаметр d сечения II—II равен 2 см. Найти: 1) скорость v₁ понижения воды в баке; 2) давление p₁, под которым вода подается в фонтан; 3) высоту h₁ уровня воды в баке и высоту h₂ струи, выходящей из фонтана.

Решение. 1. Проведем сечение I—I в баке на уровне сечения II—II фонтана. Так как площадь S₁ сечения I—I много больше площади S₂ (рис. 19) сечения II—II, то высоту h₁ уровня воды вбакеможно считать длямалого промежутка времени постоянной, а поток – установившимся. Для установившегося потока справедливо условие неразрывности струи: v₁S₁ = v₂S₂ откуда v₁ = v₂S₂ / S₁, или

v₁ = v₂ (d/D) ². (1)

Подставив значения заданных величин в (1) и произведя вычисления, найдем

v ₁=0,0012 м/с.

С такой же скоростью будет понижаться уровень в баке. Как видно, эта скорость очень мала по сравнению со скоростью струи.

2. Давление p ₁, под которым вода подается в фонтан, найдем по уравнению Бернулли. В случае горизонтальной трубки тока оно имеет вид

. (2)

Учтя, что p₂ =0 (под давлением подразумевается избыточное над атмосферным давление), из уравнения (2) получим

. (3)

Так как v₁ << v₂, то из равенства (3) следует

.

После вычислений, произведенных по этой формуле, найдем

p ₁ = 72 кПа.

3. Высоту h₁ уровня воды в баке найдем из соотношения , откуда

.

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

h ₁=7,35 м.

Зная скорость v₂, с которой вода выбрасывается фонтаном, найдем высоту h₂, на которую она будет выброшена:

=7,35 м.

Подчеркнем, что высота уровня воды в баке равна высоте, на которую поднимается фонтан воды (по правилу сообщающихся сосудов). Это замечание справедливо, если пренебречь сопротивлением воздуха.

Пример 2. В сосуде с глицерином падает свинцовый шарик. Определить максимальное значение диаметра шарика, при котором движение слоев глицерина, вызванное падением шарика, является еще ламинарным. Движение считать установившимся.

Решение. Если в вязкой жидкости движется тело, то вместе с ним, как одно целое, движется и прилипший к телу слой жидкости. Этот слой вследствие внутреннего трения увлекает за собой и соседние слои. Возникающее при этом движение жидкости является ламинарным или турбулентным в зависимости от размеров, формы тела и его скорости. Характер движения зависит также от свойств жидкости и определяется безразмерным числом Рейнольдса.

Если тело, движущееся в жидкости, имеет форму шара диаметром d, то число Рейнольдса определяется по формуле

, (1)

а критическое значение этого числа Re _кр =0,5.

Скорость v выразим, исходя из следующих соображений. На свинцовый шарик, падающий в глицерине, действуют три силы:

1) сила тяжести шарика

,

где _св — плотность свинца; V— объем шарика;

2) выталкивающая сила, определяемая по закону Архимеда

,

где _гл —плотность глицерина;

3) сила внутреннего трения, определяемая по формуле Стокса,

.

При установившемся движении шарика в жидкости (v =const) сила тяжести шарика уравновешивается суммой выталкивающей силы и силы внутреннего трения, т. е.

,

откуда

(2)

Решая совместно уравнения (1) и (2) относительно d, найдем

.

Максимальное значение диаметра d_max при котором движение остается еще ламинарным, соответствует критическому значению числа Рейнольдса Re _кp. Поэтому

.

Подставив сюда значения величин h = 1,48 Па·с; Re _кp =0,5; _cв =11300 кг/м³; _гл =1260 кг/м³ и произведя вычисления, получим

d_max =5,29 мм.

Пример 3. Верхний конец стального стержня длиной l = 5 м с площадью поперечного сечения S = 4 см² закреплен неподвижно, к нижнему подвешен груз массой кг. Определить: 1) нормальное напряжение материала стержня; 2) абсолютное х и относительное ε удлинения стержня; 3) потенциальную энергию растянутого стержня.

Решение. 1. Нормальное напряжение материала растянутого стержня выражается формулой , где F — сила, действующая вдоль оси стержня. В данном случае F равна силе тяжести mg и поэтому можем записать

.

Сделав вычисления, найдем

МПа.

2. Абсолютное удлинение выражается формулой

,

где Е — модуль Юнга.

Подставив значения величин F, l, S и Е в эту формулу (значение Па из справочных данных) и произведя вычисления, получим

.

Относительное удлинение стержня

=2,46·10^-4.

3. Потенциальная энергия растянутого стержня ,

где V — объем тела, равный S × l.

Выполнив вычисления по этой формуле, получим

= 12,1 Дж.

Пример 4. Найти молярную массу М смеси кислорода массой m ₁=25 г и азота массой m ₂=75 г.

Решение. Молярная масса смеси М _см есть отношение массы смеси т _см к количеству вещества смеси _см т. е.

. (1)

Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси m _см= m ₁+ m ₂. Количество вещества смеси равно сумме количеств вещества компонентов.

Подставив в формулу (1) выражения m _см и _см, получим

. (2)

Молярные массы M ₁ кислорода и М ₂ азота:

M ₁ =32×10^-3 кг/моль, М ₂=28×10^-3 кг/моль. Подставим значения величин в (2) и произведем вычисления:

Пример 5. Определить: 1) число N молекул воды, занимающей при температуре t= 4°C объем V = 1 мм³; 2) массу m ₁ молекулы воды; 3) диаметр d молекулы воды, считая, что молекулы имеют форму шариков, соприкасающихся друг с другом.

Решение. 1. Число N молекул, содержащихся в теле некоторой массы m, равно произведению постоянной Авогадро n _a на количество вещества : . Так как , где М — молярная масса, то . Выразив в этой формуле массу как произведение плотности r на объем V, получим

. (1)

Все величины, кроме молярной массы воды, входящие в (1), известны: r =l×10³ кг/м³, V =1 мм³=1×10^-9 м³, n _a=6,02×10²³ моль^-1.

Зная химическую формулу воды (Н₂О), найдем молярную массу воды:

M= M _r k= (2×1+1×16)×10^-3 кг/моль=18×10^-3 кг/моль. Подставим значения величин в (1) и произведем вычисления:

N= [1×10³×1×10^-9/(18×10^-3)] 6,02×10²³ молекул=3,34·10¹⁹ молекул.

2. Массу одной молекулы воды найдем делением ее молярной массы на постоянную Авогадро: m ₁= M / n _a. Произведя вычисления по этой формуле, получим

.

3. Будем считать, что молекулы плотно прилегают друг к другу, тогда на каждую молекулу диаметром d приходится объем (куби­ческая ячейка) V ₁= d ³. Отсюда

. (2)

Объем V ₁ найдем, разделив молярный объем V _m вещества на число молекул в моле, т. е.на постоянную Авогадро n _a: V ₁= V _m/ n _a. Молярный объем равен отношению молярной массы к плотности вещества, т. е. V _m= M / r. Поэтому можем записать, что V ₁= M /(rn _a).Подставив полученное выражение V ₁ в формулу (2), получим

. (3)

Проверим, дает ли правая часть выражения (3) единицу длины:

.

Теперь подставим значения величин в формулу (3) и произведем вычисления:

d =3,11×10^-10 м=311 пм.

Пример 6. В баллоне объемом V = 10 л находится гелий под давлением =1 МПа при температуре T ₁=300 К. После того как из баллона был израсходован гелий массой m =10 г, температура в баллоне понизилась до T ₂=290 К. Определить давление гелия, оставшегося в баллоне.

Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Клапейрона – Менделеева, применив его дважды к начальному и конечному состояниям газа. Для начального состояния уравнение имеет вид

Дата добавления: 2015-03-29