Представление АСР в частотной области

Важную роль при описании линейных стационарных систем играют частотные характеристики. Если на вход линейной АСР подать синусоидальное воздействие, то по истечении некоторого времени, когда затухнут все движения, определяемые переходными процессами внутри АСР, на выходе системы установится также гармоническое изменение выходной координаты с той же частотой, которую имеет входная величина, но с иными амплитудами и фазой. Эти величины при прочих равных условиях, будут зависеть от частоты возмущающего воздействия. Такие зависимости называют частотными характеристиками АСР. По частотным характеристикам можно судить о динамических свойствах АСР. Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, то есть реакция системы на несколько одновременно действующих воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. Это позволяет рассматривать частотные характеристики отдельно для каждого возмущения.

Периодическое гармоническое воздействие на объект может быть записано в векторной форме как

, где Х – амплитуда воздействия, – угловая частота,

- единичный вектор.

Послу затухания собственных колебаний в АСР на ее выходе установятся периодические колебания (рис. 23), определяемые выражением вида:

, где — фазовый сдвиг выходного сигнала относительно входного.

Рисунок 23 - Входные и выходные сигналы АСР

В этом случае можно говорить о комплексном коэффициенте передачи АСР , который определяется как

,

где – модуль комплексного коэффициента передачи,

— фаза вектора комплексного коэффициента передачи

Заметим, что если вместо подстановки сигналов записать дифференциальные уравнения движения системы для преобразования Лапласа и вновь найти отношение выходного сигнала к входному, то полученная, в ходе этого преобразования, передаточная функция совпадет с частотной передаточной функцией. Следовательно, можно отметить две особенности частотной передаточной функции:

- во-первых, частотная передаточная функция получается из обычной заменой оператора Лапласа на комплексную частоту , т.е. в результате перехода от изображения Лапласа к изображению Фурье,

- во-вторых, если дифференциальные уравнения движения системы связывает входной и выходной сигналы (т.е. функции времени), а передаточная функция связывает изображения Лапласа тех же сигналов, то частотная передаточная функция связывает их спектры

Комплексный коэффициент передачи является комплексной величиной, а его компоненты зависят от частоты входного сигнала. Модуль может быть представлен вектором на комплексной плоскости, как это показано на рисунке 24.

Рисунок 24 - Характеристики комплексного коэффициента передачи

При непрерывном изменении частоты происходит изменение положения вектора комплексного коэффициента передачи АСР, сопровождающееся изменением его модуля и фазы. Конец вектора описывает на комплексной плоскости некоторую кривую, называемую годографом. Годограф — это геометрическое место точек конца вектора комплексного коэффициента передачи на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до . Значения частот откладываются непосредственно на годографе, который является амплитудно-фазовой характеристикой системы (АФЧХ). Для определения модуля и фазы комплексного коэффициента передачи на заданной частоте следует соответствующую точку годографа соединить прямой с началом координат. Длина полученного отрезка соответствует модулю комплексного коэффициента передачи. Угол, образованной полученной прямой с положительной вещественной осью, является фазой комплексного коэффициента передачи. Такое представление частотной характеристики АСР достаточно наглядно, но не позволяет просто получать количественные характеристики для сравнения разных систем.

Для решения этой задачи используются:

- Амплитудно-частотная характеристика АСР – зависимость модуля комплексного коэффициента передачи от частоты (рис. 25).

- Вещественная частотная характеристика – зависимость действительной части комплексного коэффициента передачи от частоты:

- Мнимая частотная характеристика – зависимость мнимой части комплексного коэффициента передачи от частоты:

Эти характеристики связаны между собой и вектором комплексного коэффициента передачи следующими зависимостями:

,

.

Рисунок 25 - Амплитудно-фазовая частотная характеристика

Дата добавления: 2015-04-29