Методы исследования нелинейных систем

Система считается нелинейной, если её порядок >2 (n>2).

Исследование линейных систем высокого порядка связанно с преодолением значительных математических трудностей, так как несуществует общих методов решения нелинейных уравнений. При анализе движения нелинейных систем применяют методы численного и графического интегрирования, которые позволяют получать только одно частное решение.

Методы исследования разделяются на две группы. Первая группа – это методы основанные на поиске точных решений нелинейных дифференциальных уравнений. Вторая группа – это приближенные методы.

Разработка точных методов важна как с точки зрения получения непосредственных результатов, так и для исследования различных особых режимов и форм динамических процессов нелинейных систем, которые не могут быть выявлены и проанализированы приближенными методами. К точным методам относятся:

1. Прямой метод Ляпунова

2. Методы фазовой плоскости

3. Метод припасовывания

4. Метод точечных преобразований

5. Метод сечений пространства параметров

6. Частотный метод определения абсолютной устойчивости

Для решений многих теоретических и практических задач применяется дискретная и аналоговая вычислительная техника, позволяющая использовать методы математического моделирования в сочетании с полунатурным и натурным моделированием. В этом случае вычислительная техника стыкуется с реальными элементами систем управления, со всеми присущими им нелинейностями.

К приближенным относятся аналитические и графо-аналитические методы, позволяющие заменить нелинейную систему эквивалентной линейной моделью, с последующим использованием для ее иследования методов линейной теории динамических систем.

Существует две группы приближенных методов.

Первая группа основывается на предположение о близости исследуемой нелинейной системы по ее свойствам к линейной. Это методы малого параметра, когда движение системы описывается с помощью степенных рядов относительно некоторого малого параметра, который имеется в уровнениях системы, или который вводится в эти уровнения искусственно.

Вторая группа методов направлены на исследования собственных периодических колебаний системы. Она основывается на предположении близости искомых колебаний системы к гармоническим. Это методы гармонического баланса или гармонической линеализации. При их использовании производится условная замена нелинейного элемента, находящегося под действием гармонического входного сигнала, эквивалентным линейным элементам. Аналитическое обоснование гармонической линеализации основывается на принципе равенства частотных, аплитудных и фазовых выходных переменных, эквивалентного линейного элемента и первой гармоники выходной переменной реального нелинейного элемента.

Наибольший эффект дает разумное сочетание приближенных и точных методов.

Дата добавления: 2015-04-29