Типовые динамические звенья

№	Наименование звена						Примечание
	Безынерционное пропорциональное					K
	Инерционное первого порядка (апериодическое)		T			K
	Инерционное второго порядка (апериодическое)					K

Таблица 2 (продолжение)

	Инерционное второго порядка (колебательное)					K
	Идеальное интегрирующее					K
	Реальное интегрирующее	T				K
	Идеальное дифференцирующее				K
	Реальное дифференцирующее		T		K
	Изодромное (пропорционально- интегрирующее)					K
	Форсирующее (пропорционально- дифференцирующее)					K
	Интегро- дифференцирующее с преобладанием интегрирующих свойств		T			K

Таблица 2 (окончание)

	Интегродифферен­цирующее с преобладанием дифференцирующих свойств		T			K

Отметим общие закономерности звеньев. Если коэффициенты и , то звенья имеют однозначную связь между входной и выходной величиной в статическом режиме. Они называются статическими, или позиционными. Звенья, у которых , , или и или и , обладают инерционностью (замедлением). К ним относятся звенья 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12.

У звеньев № 1, 5, 7 только два коэффициента не равны нулю. Они являются простейшими или элементарными. Все остальные могут быть образованы из элементарных путем последовательного, параллельного и встречно-параллельного соединения.

Рассмотрим свойства звеньев № 1-8. Характеристики остальных звеньев № 9, 12 могут быть получены как характеристики различных соединений звеньев № 1-8.

При рассмотрении указанных звеньев будут приведены следующие характеристики:

· уравнение звена и пример его физического представления;

· частотные характеристики;

· кривая разгона и импульсная переходная функция.

Временные характеристики есть реакция звена (элементов и т.д.) на апериодическое типовое воздействие. Реакция звена во времени на ступенчатое единичное воздействие 1(t) при нулевых начальных условиях называется переходной характеристикой (фун­кцией), или кривой разгона, и обозначается через h(t).

Реакция звена во времени на -функцию при нулевых начальных условиях называется импульсной переходной характеристикой (функцией). Она обозначается через .

Эти характеристики приведены на рис. 24 и 25.

Рис. 24. Входное ступенчатое единичное воздействие (а)
и кривая разгона (б)

Рис. 25. Входное воздействие в виде -функции (а)
и импульсная переходная функция

Переходные и импульсные переходные функции связаны между собой соотношениями:

, (88)

. (89)

При помощи импульсной функции звена можно определить его реакцию на произвольное входное воздействие.

Связь между входной и выходной величинами устанавливается интегралом Дюамеля (интегралом свертки):

или

. (90)

Переходная функция h(t) звена представляет собой решение неоднородного дифференциального уравнения звена при и при для i=1... n.

Она состоит из двух составляющих:

, (91)

где – возмущенная составляющая, определяемая частным решением неоднородного уравнения и равна ; – свободная составляющая, определяемая частным решением соответствующего однородного дифференциального уравнения в виде:

, (92)

где – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. Заметим, что собственный оператор D(p) представляет собой характеристическое уравнение, корни которого есть в выражении (92).

В выражении передаточной функции звена знаменатель также представляет собой характеристическое уравнение, корни которого называются полюсами.

Корни числителя передаточной функции называются нулями. При значениях параметра P, равных нулям, передаточная функция W(P) обращается в ноль, а при значениях параметра P, равных полюсам, передаточная функция W(P) обращается в .

20.Интегрирующее звено.

Звено описывается дифференциальным уравнением

(2.60)

или, в операторной форме

(2.61) .

Переходная функция интегрирующего звена

(2.62) .

Звено относится к астатическим блокам и поэтому не имеет статической характеристики.

Рис. 2.11. Переходная функция интегрирующего звена

Примеры: элементы механических систем (см. движение материальной точки, пример 2.3), описываемые уравнениями динамики вида

,

и кинематическими уравнениями

;

электронные интеграторы () и т.д.

21.Идеальное дифференциальное звено

Звено описывается дифференциальным уравнением

(2.63)

или, в операторной форме,

(2.64) .

Переходная функция дифференцирующего звена -

(2.65) ,

а реакция звена на линейно-нарастающий сигнал x₂=t -

(2.66) .

При x₂ = const для любых t>0 выполняется и, следовательно, статической характеристикой звена является прямая .

Рис. 2.12. Реакция дифференцирующего звена на линейно нарастающее воздействие

Примеры: тахогенератор (электромашинный датчик скорости), электронный дифференциатор ().

Замечание 2.4. Выходом дифференцирующего звена является производная входного сигнала, т.е. его мгновенная скорость dx₂/dt. Операция нахождения текущего значения скорости x₁(t)=dx₂(t)/dt только по информации об известном в данный момент времени t сигнале x₂(t) физически не реализуема и поэтому идеальных дифференцирующих звеньев не существует. Тем не менее производная может быть приближенно рассчитана как ₁(t)=D x₂(t)/D t, где D t - интервал времени, D x₂ -соответствующее приращение сигнала x₂. При уменьшении интервала D t можно получить значение ₁(t), сколь угодно близкое к текущему значению скорости x₁(t). Следовательно, несмотря на нереализуемость (с абсолютной точностью) операции дифференцирования, теоретически возможно построение звена, которое обеспечивает нахождение производной dx₂(t)/dt со сколь угодно высокой точностью.

22.Реальное дифференцирующее звено.

Звено описывается уравнением

(2.67) .

или, в операторной форме,

(2.68)

Переходная функция звена имеет вид

Рис. 2.13. Переходная функция реального дифференцирующего звена

(2.69) ,

а реакция звена на линейно-нарастающий сигнал x₁=t совпадает с переходной функцией апериодического звена, т.е.

(2.70) .

При x₂ =const и выполняется , что соответствует статической характеристике звена.

При достаточно малых постоянных времени T, характеристики звена приближаются к характеристикам идеального дифференцирующего звена (см. Замечание 2.4).

Рис. 2.14. Реакция реального дифференцирующего звена на линейно нарастающее воздействие

Примеры: CR и RL цепи.

23.Инерционное звено 1-го порядка.

Инерционное звено первого порядка описывается уравнением:

. (101)

Его переходная функция (кривая разгона):

. (102)

Импульсная функция:

. (103)

Кривая разгона и импульсная переходная функция инерционного звена первого порядка приведены соответственно на рис. 30 и 31.

Рис. 30. Кривая разгона инерционного звена первого порядка

Рис. 31. Импульсная переходная функция

Преобразуем (101) по Лапласу:

. (104)

Передаточная функция:

. (105)

АФХ:

, (106)

, (107)

. (108)

Запишем в алгебраической форме:

, (109)

, (110)

. (111)

Графики АФХ, АЧХ, ФЧХ приведены на рис. 32, а, б, в.

Инерционными звеньями первого порядка являются конструктивные элементы, которые могут накапливать энергию или вещество, и обладающие свойством без изменения внешних воздействий приходить в установившееся состояние (самовыравниванием).

Примеры инерционных звеньев первого порядка приведены на рис. 33.

Запишем RC и LR четырехполюсников. Для емкости имеет место соотношение:

. (112)

Или в преобразованном по Лапласу виде при нулевых начальных условиях:

. (113)

Из (113) получим выражение комплексного емкостного сопротивления:

. (114)

Рис. 32. Частотные характеристики инерционного звена
первого порядка

Для индуктивности имеет место соотношение:

(115)

или в преобразованном по Лапласу виде при нулевых начальных условиях:

. (116)

а)

б)

Рис. 33. RС и LR – четырехполюсники – инерционные звенья
первого порядка

Из (116) получим выражение комплексного индуктивного сопротивления:

. (117)

Теперь запишем выражение выходного напряжения для RC – четырехполюсника:

. (118)

Так как

, (119)

то с учетом (114) и (119) выражение (118) принимает вид:

. (120)

Введя обозначение T=RC, из (120) получим:

. (121)

Аналогично запишем выражение выходного напряжения для LC-четырехполюсника:

. (122)

Так как

, (123)

то с учетом (117) и (123) выражение (122) примет вид:

. (124)

Введя обозначение , из (124) получим:

. (125)

24.Звенья второго порядка.

В общем случае описываются уравнением

Перейдем к изображениям по Лапласу:

Отсюда определяем передаточную функцию:

Однако общепринята запись передаточной функции звеньев второго порядка в другом виде:

где

Звенья второго порядка, таким образом, характеризуются тремя параметрами. Это коэффициент передачи, постоянная времени и коэффициент демпфирования x. В зависимости от величины коэффициента демпфирования различают типы звеньев: колебательное (0<x<1), консервативное (x=0) и апериодическое второго порядка (x³1).

Рассмотрим свойства колебательного звена. Выражения для его частотных функций имеют следующий вид:

Асимптотическая ЛАЧХ строится тем же приемом, что и для апериодического звена. В области низких частот Tw<<1 и в подкоренном выражении всеми членами, кроме 1, можно пренебречь. Тогда низкочастотная асимптота G(w)_нч принимает вид

G(w)_нч»20lgk.

В области высоких частот ( и в подкоренном выражении можно оставить лишь , пренебрегая остальными членами. Высокочастотная асимптота G(w)_вч описывается формулой:

G(w)_вч»20lgk-20lg(Tw)²=20lgk-40lgTw.

Эта асимптота имеет наклон минус 40 дБ/дек. Сопрягаются асимптоты на частоте , как показано на рис.2.17.

G(w) Точная ЛАЧХ

Асимптотическая ЛАЧХ

20lgk

-40 дБ/дек

0 lgw

lg 1/T

j(w)

Рис.2.17

Точная ЛАЧХ несколько отличается от асимптотической . Максимальная ошибка - в районе около сопрягающей частоты. Для упрощенных расчетов можно считать, что наибольшая ошибка будет при :

В районе точная ЛАЧХ идет ниже асимптотической при и выше - при . При значениях ошибка становится существенной (более трех децибел) и ее необходимо учитывать, используя приведенную выше формулу либо поправочные кривые из справочной литературы.

Представление о динамических свойствах звена можно получить из переходной характеристики, представленной на рис.2.18.

h(t)

k

0 t

Рис.2.18

Примером звена второго порядка может служить колебательный контур (см. схему на рис.2.5 и вывод передаточной функции в примере 2.4).

Консервативное звено - частный случай колебательного звена, когда отсутствует демпфирование. Если обратиться к приведенному выше примеру (см. рис.2.5), то должны отсутствовать потери в контуре (выполняться условие R=0). В этом случае колебания стали бы незатухающими, и переходная характеристика описывалась бы выражением:

На сопрягающей частоте ЛАЧХ консервативного звена имеет всплеск бесконечной амплитуды, т.е. претерпевает разрыв, а ЛФЧХ из нулевого значения скачком достигает значения минус p.

При x ³ 1 передаточную функцию звена второго порядка можно преобразовать следующим образом:

где

То есть апериодическое звено второго порядка не является типовым или элементарным, так как его можно представить двумя последовательно соединенными более простыми звеньями - апериодическими первого порядка.

Дата добавления: 2015-04-29