Математические модели цифровых систем управления

Одним из важнейших этапов при анализе и синтезе систем автоматического управления (САУ) является построение их адек­ватных математических моделей. От правильности или удачности выбора модели во многом зависит весь ход дальнейших ис­следований САУ. Конечно, при построении модели желательно получить ее четкое математическое описание. Однако попытки получить четкое математическое описание САУ в тех случаях, когда иная информация о них, кроме нечеткой, недоступна, путем задания строгих границ "волевым" методом или искус­ственным введением однозначности, приводит к огрублению исходных данных, которое может способствовать получению чет­ких, но не адекватных моделей, и поэтому не целесообразны. Тем не менее и в этом случае целесообразно попытаться выде­лить в нечеткой в целом САУ отдельные ее части, поддающиеся четкому математическому описанию.

Таким образом, уже в самом начале процесса построения модели следует ответить на вопрос, какой тип модели, четкий или нечеткий, может быть получен исходя из имеющейся информации об изучаемой САУ в целом и об ее отдельных со­ставляющих частях. В случае наличия принципиальной возмож­ности получения четкой модели САУ в целом или ее отдель­ных частей следует начинать построение одной из следующих четких моделей.

Непрерывные линейные модели могут использоваться при условии, когда временем счета и преобразования сигналов в УВМ можно пренебречь. Эти модели описываются системой линейных, обыкновенных дифференциальных уравнений состояния вида:

Y/dt = AY+ BU + CV+ DF, (1.3)

где Y— «n-мерный вектор состояния системы; V— m-мерный вектор задания на управление; U— r-мерный вектор управляю­щего воздействия; F— k-мерный вектор возмущающих воздей­ствий; А — (n×n)-мерная постоянная матрица; В — (n×r)-мерная постоянная матрица; С— (п×т)- мерная постоянная матрица; D — (n×k)-мерная постоянная матрица.

Для систем с запаздыванием переменных состояния или воздействий уравнения состояния представляют собой систему дифференциально-разностных уравнений вида

DY(t)/dt = AY(t - ) + BU(t - ) + + CV(t - ) + DF(t - ), (1.4)

где Т_у , , — время запаздывания соответствующего вектора.

К таким системам применим принцип суперпозиции, и по­этому можно действия на систему векторов V, У, F изучать раз­дельно. Это явилось следствием того, что подобные системы описываются обычно уравнением вида

dY/dt = AY+ BU

или

dY(t)/dt = AY(t - ) + BU(t - ). (1.6)

Ограничения в таких системах также линейны:

s(Y,U)> 0; (1.7)

h(Y, U) = 0, (1.8)

где s, h — линейные векторные функции.

Соответственно и целевая функция таких систем должна быть линейной:

J= (Y,Y), (1.9)

где — линейная скалярная функция.

Обычно целевая функция в этих системах является показа­телем качества, выражаемым скалярной величиной вида:

J = G(Y(t_f), t) + dt, (1.10)

'о

где G и Q— скалярные функции, а и —начальный и конеч­ный моменты времени соответственно.

Случаи, когда ограничения и (или) целевая функция не линейны, относятся к непрерывным нелинейным системам, а случаи, когда целевая функция векторная, относятся к интел­лектуальным нечетким системам.

Аналитическое решение уравнения состояния (1.5) известно:

(1.11)

где Y₀ — вектор начального состояния системы в момент време­ни t = 0.

Поэтому формализованное описания САУ в этом виде яв­ляется наиболее предпочтительным, но, к сожалению, редко достижимым.

Непрерывные нелинейные модели также могут быть исполь­зованы, когда можно пренебречь временем счета и преобразо­вания сигналов в УВМ. Такие модели описываются системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений пер­вого порядка вида

(1.12),

где В — n-мерная нелинейная векторная функция.

Непрерывные нелинейные системы с запаздыванием опи­сываются соответственно системой дифференциально-раз­ностных уравнений:

dY(t)/dt= . (1.13)

В этом случае функции s, h и 4/ в уравнениях (1.7)—(1.9) могут быть нелинейными. Причем желательно, чтобы ограниче­ния, т. е. функции s и h, образовывали выпуклые множества, функция — была выпуклой или вогнутой, так как в против­ном случае традиционные вычислительные методы поиска оп­тимальных решений не дают гарантированного результата за приемлемое число итераций и требуется использовать новые ин­теллектуальные методы поиска оптимальных решений, напри­мер, генетические алгоритмы.

Аналитического решения уравнений вида (1.12) и (1.13) получить, как правило, не удается. Однако существует достаточ­но обширный класс систем, для которых удается получить чис­ленные решения достаточной точности за приемлемое число итераций [8].

Дискретные линейные модели при постоянном временном интервале могут быть описаны следующей системой разностных уравнений состояния:

Y(k+l) = AY(k) + BU(к) + CV(k) + DF[k), (1.14)

где к + 1 и к — номера интервалов времени.

Вектор состояния Y любой дискретный момент времени t_k может быть определен в виде функции начального состояния и всех предшествующих векторов, например, при V = 0 и F = 0 имеем

Y(k) = Y(0) + . (1.15)

Ограничения в каждый дискретный момент времени в этом случае имеют вид

(1.16)

(1.17)

где , — линейные векторные функции. Целевая функция принимает вид

J = (1.18)

где G — скалярная линейная функция.

Формализованное описание дискретных САУ в этом виде наиболее желательно, так как задачу синтеза оптимальной сис­темы в этом случае обычно можно свести к задаче линейного программирования [8].

Дискретные нелинейные модели описываются следующими разностными уравнениями состояния:

Y(i + 1) = В (Y(i), U(i), V(i),F(i), i), (1.19)

где i = 0, 1,2,..., N—1 — номер временного интервала.

В каждый дискретный момент времени система должна быть подчинена дополнительной системе ограничений:

= 0, у= 1,..., р; (1.20)

, j=1,…,r, (1.21)

где h и s — в общем случае нелинейные функции.

Й этом случае функция G в уравнении (1.18) для целевой функции может быть нелинейной. Аналитического решения си­стемы (1.19) в общем случае не имеется. Однако существует класс систем, для которых можно получить достаточно точные чис­ленные решения [8]. Очевидно, что и в этом случае желательно, чтобы ограничения s и Л образовывали выпуклые множества, а функция G была выпуклой или вогнутой.

Стохастические модели используются для САУ со случай­ными параметрами и (или) для САУ со случайными возмущаю­щими воздействиями.

Системы со случайными параметрами можно описывать не­прерывными и дискретными линейными или нелинейными моделями, подобными предыдущим. Однако уравнения состоя­ния, ограничений и целевых функций в этом случае записыва­ются для статистических оценок параметров, наиболее используемыми из которых являются оценки математических ожида­ний и дисперсий.

В системах со случайными возмущающими воздействиями широко используются такие характеристики входных воздействий и выходных реакций системы, как корреляционные функции и спектральные плотности случайных функций времени. Однако при этом случайные входные воздействия должны обладать свой­ствами стационарности и эргодичности. В противном случае ука­занные характеристики становятся неопределенными, и тогда САУ приходится описывать нечеткими моделями.

Нечеткие модели используются при отсутствии принципи­альной возможности получения четкой модели САУ или каких- либо ее частей. Выбор нечеткой модели во многом зависит от выявленных неопределенностей в САУ.

После выявления имеющихся в данной задаче анализа и синтеза САУ неопределенностей может быть построена одна из следующих нечетких моделей

Логико-вероятностные модели с неизменяющимися веро­ятностями событий описываются системами логических урав­нений или системами алгебраических уравнений по модулю 2. При этом логические переменные имеют в качестве атрибутов вероятности их истинности или ложности, которые не изме­няются во времени. Систему логических уравнений обычно при­водят к уравнениям вида линейной последовательностной ма­шины [9]:

Y(k+1)=A&Y(k) B&U(k) C&V(k) DF(k), (1.22),

где Y(k+1), Y(k) — векторы логических переменных, принима­ющих значения 0 либо 1 и характеризующих состояние выхода системы в (k+1) -й и к- й моменты времени соответственно; U(k) — вектор логических переменных, принимающих значения 0 либо 1 и характеризующих управляющие воздействия в к- й момент вре­мени; V(k) — вектор логических переменных, принимающих значения 0 либо 1 и характеризующих задание на управление в к- й момент времени; F(k) — вектор логических переменных, принимающих значения 0 либо 1 и характеризующих возмуща­ющие воздействия в к- й момент времени; А, В, С, D— матри­цы из 0 и 1, характеризующие систему в к- й момент времени;

&— знак операции логического умножения матрицы на вектор;

— знак операции сложения по модулю 2.

При использовании вычислительных методов анализа по­добных систем, обладающих постоянством А, В, С, D, и синте­за оптимальных решений обычно уравнение (1.22) можно заме­нить уравнением вида [9]

Y(k) = G& Y(0) U(i), (1.23)

где G, Q.— постоянные матрицы из 0 и 1, — знак операции суммирования по модулю 2,

,

,

Вероятность каждой i- й компоненты вектора U(k+1) может быть определена через вероятности всех i -х компонент вектора U(k) по полиномиаль­ной формуле [10]:

(1.24)

где n — размерность векторов U(k+1) и U(k), a N — порядковый номер члена полинома.

Как показано в [10], в большинстве случаев можно полу­чить достаточную точность вычисления P_ik+1 используя всего 5 - 7первых членов полинома (1.24), что существенно облегчает поиск решений с максимальной вероятностью, т. е. решение оп­тимизационных задач.

Таким образом, логико-вероятностная модель нечеткой под­системы может быть описана системой уравнений типа (1.30) и (1.31). Тогда целевая функция будет

(1.25)

Логико-вероятностные модели с изменяющимися во време­ни вероятностями событий также описываются системами ло­гических уравнений или алгебраических уравнений по модулю 2 типа (1.23). Однако процесс вычисления минимума целевой фун­кции при изменении во времени вероятностей событий услож­няется, так как в этом случае целевая функция также изменяет­ся во времени. Последнее обстоятельство является характерной чертой систем эволюционно-генетического типа или человеко-машинных систем (ЧМС).

В моделях ЧМС приходится учитывать особенности характе­ра человека, либо коллектива людей, принимающих решения в этих системах в условиях неполной определенности. Указан­ные особенности заключаются в том, что в процессе умозаклю­чения, т. е. анализа логического правила, уверенность в правиль­ности вывода, т. е. вероятность логического вывода, может меняться. Последнее приводит к зависимости от времени умо­заключения целевой функции J(i,k,t) в уравнении типа (1.25).

Например, если появляется событие х. в момент времени t₀ с вероятностью , то лицо, принимающее реше­ние (ЛПР) в момент времени полагает, что, если есть собы­тие , то должно быть сгенерировано событие с вероятностью

. (1.26)

Тогда, если при изменении Т изменяется и Р(Т), то соот­ветственно меняется и вероятность генерируемого события: в случае совместности событий х ₍.и х:.

. (1.27)

в случае несовместности событий и :

. (1.28)

При этом, если вероятность импликации Р(Т) = 1, то в первом случае 1, а во втором

В процессе рассуждений и умозаключений вероятность вы­вода у ЛПР может меняться в силу неосознанного, либо осоз­нанного учета ряда дополнительных факторов. Осознанные факторы можно учесть путем введения их в логико-вероятностные модели в виде дополнительных логических переменных и урав­нений. Неосознанные факторы невозможно учесть таким обра­зом. Поэтому естественной возможностью их учета может быть введение тех или иных, линейных или нелинейных, зависимос­тей от времени вероятностей импликаций. Наиболее простыми являются следующие зависимости (см. рис. 1.19):

Вопрос использования той или иной зависимости Р(Т) при моделировании поведения ЛПР пока остается открытым и требу­ет серьезных статистических исследований поведения ЛПР в тех или иных условиях. Однако неучет зависимости вероятности при­нятия решения от времени хотя и облегчает задачу, но может существенно исказить результат, связанный с выбором решения с наибольшей вероятностью на момент принятия решения.

Помимо рассмотренной ситуации при принятии решения ЛПР может быть случай, когда в процессе рассуждений и умо­заключений вероятность вывода у ЛГ1Р меняется в зависимости от изменения во времени, каких-либо факторов f_t(t), которые сами непосредственно невозможно учесть путем ввода их в мо­дель в виде дополнительных логических переменных и (или) уравнений. В этом случае можно записать, что:

, (1.29)

где F(T) — вектор влияющих на вероятность импликации фак­торов.

При этом зависимость P(F(t)) может быть так же линейной и нелинейной, падающей, растущей, либо колебательной в за­висимости от типа характера ЛПР.

Рис. 1.19. Зависимости вероятностей принятия решения от времени

Возможен случай, когда требуется учитывать зависимость вероятности импликации как от времени, так и от вектора вли­яющих факторов Р(Т, F(T)). Ситуация с выявлением зависимос­ти Р(Т, F(T)) еще более усложняется, если ЛПР является кол­лективным. Вполне вероятно, что в некоторых случаях эта зависимость становится сингулярной, что может означать поте­рю управляемости из-за невозможности принятия решения.

Таким образом, среди моделей нечетких систем логико-ве­роятностного типа можно выделить класс моделей, учитываю­щих непостоянство вероятностей импликаций, т. е. учитываю­щих поведение ЛПР. Модели этого класса можно разбить на следующие типы:

—с зависимостью только от времени,

—с зависимостью только от вектора влияющих факторов,

—с зависимостью от времени и от вектора влияющих факторов.

В свою очередь каждый из этих типов может иметь зависи­мость падающего типа, растущего, колебательного или сингу­лярного. При этом первые две зависимости могут быть как ли­нейными, так и нелинейными.

Логико-вероятностные модели с интервальным заданием вероятностей описываются системами логических или алгебра­ических по модулю 2 уравнений типа (1.23). Однако процесс вычисления минимума целевой функции J(i, к) резко усложня­ется, так как вероятности каждого из возможных исходов y_t(k) =1 теперь лежат в некоторых диапазонах {a_ik;b_jk}, вычисле­ние которых зависит от логического уравнения, из которого получена данная логическая величина

Целевая функция может задаваться в разной форме. Одной из наиболее простых форм может быть следующая линейная:

J(i,k)=max{ }, (1.30)

где т_ik = (b_ik + a_ik)/2 — среднее арифметическое из величин гра­ниц диапазона; e_ik= (b_ik — a_jk)/(b_jk + a_ik) — характеристика относи­тельной ошибки; с,— коэффициент, учитывающий предпочте­ние ЛПР.

Полиномиальная форма вычисления интервалов вероятно­сти Р_ik+1 в случае задания вероятностей P_ik i -х компонент векто­ра U(k) в интервальной форме опирается на полиномиальную формулу (1.31) вычисления вероятности сложной логической функции, но при этом надо использовать правила интерваль­ной арифметики, в частности, для суммы двух интервальны ве­личин имеем: {a_ik;b_lk} + {a_jk;b_jk} = {a_ik + a_ik, b_ik + b_jk}, а для произ­ведения:

{a_ik;b_ik} +{a_jk;b_jk}=

= {min (a_ika._k, a_lkb_jk; b_ika_Jk, b_ikb._k); ma x(a_ika_Jk, a_ikb_Jk, b_ika_jk, b_ikb_jk)}.

Кроме того, следует отметить, что соотношение (1.30) не единственно возможное для принятия решения. Могут быть си­стемы, для которых более важно иметь наибольшее значение нижней границы, например, при максимизации надежности работы системы управления живучестью; верхней границы, на­пример, при максимизации возможного выигрыша от управле­ния; или среднего значения, например, при максимизации ре­зультата работы системы за значительный промежуток времени.

Логико-вероятностные модели с интервальным заданием вероятностей, меняющимся во времени, также описываются системами логических уравнений или алгебраических уравне­ний по модулю 2 типа (1.23), а целевая функция может зада­ваться уравнением вида (1.30). Однако процесс вычисления ми­нимума целевой функции при изменении во времени интервалов вероятностей событий усложняется, так как в этом случае целе­вая функция также изменяется во времени. Такие модели харак­терны для ЧМС. Построение адекватных моделей таких систем связано с изучением поведения ЛПР и требует их предваритель­ного тестирования с целью выявления характерных особеннос­тей поведения при принятии решения в условиях неполной определенности.

Логико-вероятностные модели со случайными вероятностя­ми событий описываются системами логических или алгебраи­ческих по модулю 2 уравнений типа (1.23), а целевая функция может задаваться то же уравнением типа (1.30). Только теперь т_ik — будет соответствовать математическому ожиданию вероят­ности Р_ik или ее оценке, а характеристикой относительной ошиб­ки будет отношение e_jk = /m_jk, где — среднеквадратическое отклонение вероятности P_jk или ее оценка. В случае необхо­димости вычисления вероятности P_jk+1 через случайные вероят­ности Р_iк i-x компонент вектора х(к) целесообразно каждую из случайных вероятностей заменить условными интервалами с нижними границами

a_jk = т_iк — 3 _ik и верхними границами b_jk = т_iк + 3 _ik Тогда вычисление случайной величины Р_ik+1 заме­няется на вычисление интервала ее возможных значений по рас­смотренной выше схеме использования правил интервальной арифметики в полиномиальной формуле вычисления вероятно­сти сложной логической функции. Очевидно, что такая схема расчета дает некоторые погрешности, зависящие от типов зако­нов распределения случайных величин Р_кi.

Практически к такой же модели можно прийти, если вероят­ности Р. будут задаваться интервалами со случайными границами, если предложенную схему применить для каждой границы с пос­ледующим вычислением результирующих интервалов. Однако при этом объем вычислений, естественно, увеличится.

Логико-вероятностные модели со случайными вероятностя­ми событий и изменяющимися во времени их плотностями рас­пределения описываются системами логических или алгебраи­ческих по модулю 2 уравнений типа (1.23), а целевая функция может задаваться тем же уравнением (1.30) с использование описанной выше процедуры определения возможных границ ве­роятности Р_iк+1 Однако из-за изменения во времени плотностей распределения вероятностей Р_iк меняются и параметры m_ik, у_iк, что требует периодически заново вычислять границы возмож­ных значений Р_iк+1. Очевидно, что процедура поиска оптималь­ных решений в данном случае резко усложняется и может но­сить неустойчивый характер.

Логико-лингвистические модели с неизменяющимися во времени функциями принадлежности описываются системами логических или алгебраических по модулю 2 уравнений типа (1.22), которые обычно можно заменить уравнениями типа (1.23). При этом они дают не менее двух совместных решений у _i (к + 1) и у _j (к + 1). Наличие нескольких пар совместных решений обыч­но означает, что в данной САУ одновременно имеется несколь­ко совместных воздействий.

Каждое решение всегда можно представить в виде полинома:

(1.31)

где — знак произведения по модулю 2 "i-х" сомножителей,

а коэффициенты , . могут быть 0 или 1. Например:

При этом функцию принадлежности получен­ного решения (к + 1) можно вычислить, используя правило вычисления функции принадлежности суммы переменных по модулю 2:

Второе решение у_i(к + 1) может иметь другое значение фун­кции принадлежности, вычисленное аналогичным образом. Допустим, мы получили . Тогда численное значе­ние окончательного решения, например величину управляющего воздействия адаптации, можно получить, используя так назы­ваемую операцию дефаззификации. Существует несколько ва­риантов дефаззификации, каждый из которых имеет равные права, так как нет оснований считать, что тот или иной вариант является лучшим. Наиболее часто используют метод, основан­ный на вычислении центра тяжести по формуле, заимствован­ной из механики. Суть метода состоит в следующем.

Пусть мы получили одно решение у_i(4), означающее "неболь­шое воздействие", с функцией принадлежности 0,8 и второе решениеу_j ( 4), означающее "среднее воздействие", с функцией принадлежности . Причем эти реше­ния совместны, так как небольшому воздействию соответствует диапазон его возможных значений от 10 до 30, а среднему — от 20 до 40 В (см. рис. 1.20), т. е. диапазоны частично перекрыва­ются. Для проведения дефаззификации надо вершину первого треугольника, соответствующего отсечь на высоте 0,8, а второго, соответстующего — на высоте 0,4. После этого надо полученные фигуры (трапеции) и объединить в одну по принципу максимума, т. e = max{ }.

Теперь конкретное значение управляющего воздействия адап­тации и определяется как центр тяжести полученной фигуры по формуле (1.32)

Рис. 1.20. Деффазификация

В частности, для рассматриваемого примера получим и = 23,8 В.

Логико-лингвистические модели с изменяющимися во вре­мени функциями принадлежности описываются аналогично предыдущим. Однако из-за изменения функций принадлежнос­ти во времени необходимо, во-первых, расчеты производить на порядок быстрее скорости изменения функций принадлежнос­ти, а во-вторых, постоянно периодически повторять расчеты для коррекции воздействий вслед за изменениями функций при­надлежности.

Логико-лингвистические модели с неформализуемыми атри­бутами лингвистического типа, для описания логической части использующие уравнения типа (1.2.3). Однако при этом требуется задание правил или алгоритмов обработки лингвистической ат­рибутной части, характеризующей нечеткость или неопределен­ность логических переменных, при проведении над ними опера­ций сложения и умножения по модулю 2. Каждое решение (к) системы уравнений (1.23) будет иметь некоторый лингвисти­ческий атрибут, его характеризующий и образующий неметризуемое множество В.. Выбор наилучшего решения из множества альтернативных может опираться на процедуру поиска бинар­ного отношения:

- множество, характеризующее эталонное решение, ко­торого мы хотим достичь или по крайней мере к которому мы хотим максимально приблизиться, а g — двуместный предикат на анализируемых множествах, который может быть задан, на­пример, путем указания формул логико-математического языка или путем задания формализованного лингвистического выраже­ния [11]. При этом проблема выявления наилучшего решения сво­дится к двум задачам. Первой является задача получения множеств В_р В_э, а второй — конструирование оптимальной процедуры g, позволяющей получить количественную оценку близости В. к В_э.

Создание исходной базы для конструирования g целесооб­разно начинать с выделения в каждом из сравниваемых мно­жеств метризуемых подмножеств, для элементов которых могут быть указаны отношения и числовые меры близости. Следую­щим, наиболее сложным шагом является упорядочивание эле­ментов неметризуемых подмножеств. Весьма вероятно, что для решения этой задачи понадобится построение новой системы логических уравнений, решение которой приведет либо к мет- ризуемым множествам, либо к упорядоченным. В первом случае мы сразу получаем числовые меры близости. Во втором эти меры придется строить заново. В качестве возможных числовых оценок могут быть использованы мощности множеств, количество со­впадающих элементов, число групп совпавших элементов и др. Каких-либо рекомендаций по выбору тех или иных оценок в настоящее время давать нельзя в связи со слабой изученнос­тью подобных моделей. В случае невозможности упорядочива­ния неметризуемых множеств решение о наибольшей близости какого-либо множества к эталону должен принимать опера­тор, т. е. такие системы могут строиться только как человеко-машинные.

В заключение следует отметить, что при исследовании и синтезе сложных САУ могут быть использованы все рассмот­ренные виды моделей в любых сочетаниях.

Дата добавления: 2015-04-29