Некоторые свойства нормального распределения

Функция вероятности нормального распределения имеет вид

Среднеквадратическое отклонение (с тандартное отклонение, стандарт) - в теории вероятностей и статистике наиболее распространенный показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Измеряется в единицах измерения самой случайной величины. Равно корню квадратному из дисперсии случайной величины. Стандартное отклонение используют при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.

где — стандарт, стандартное отклонение, несмещенная оценка среднеквадра-тического отклонения случайной величины X относительно её математического ожидания; — дисперсия; — i- й элемент выборки; — среднее арифметическое выборки; — объём выборки.

Следует отметить отличие стандарта (в знаменателе n − 1) от корня из дисперсии (среднеквадратического отклонения) (в знаменателе n), при малом объёме выборки оценка дисперсии через последнюю величину является несколько смещенной, при бесконечно большом объёме выборки разница между указанными величинами исчезает.

Правило трёх сигм

График плотности вероятности нормального распределения

и процент попадания случайной величины на отрезки,

равные среднеквадратическому отклонению

Правило трёх сигм (): практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале . Более строго — не менее чем с 99,7 % достоверностью, значение нормально распределенной случайной величины лежит в указанном интервале. При условии что величина истинная, а не полученная в результате обработки выборки.

Если же истинная величина неизвестна, то следует пользоваться не σ, а s. Таким образом, правило 3-х сигм преобразуется в правило трех s.

Дата добавления: 2015-04-30