Уравнения состояний восстанавливаемого объекта

Рассмотрим теперь случай, когда наработка между отказами имеет показательное распределение с параметром l (l называется интенсивностью отказов), а время восстановления имеет показательное распределение с параметром m (m называется интенсивностью восстановления).

В этом случае средняя наработка между отказами и среднее время восстановления равны . Коэффициенты готовности и простоя соответственно равны

Обычно l мало по сравнению c m, тогда

Можно определить и предельное значение функции оперативной готовности. Введем события:

A(t₁) - объект работает в момент t₁, В(t₁, t₂) - на промежутке (t₁, t₁ + t₂) не будет отказов.

Тогда . Но .

Таким образом, . При функция оперативной готовности переходит в стационарную функцию оперативной готовности:

.

Восстанавливаемый объект может находиться в двух состояниях: S₀, в котором объект работает, и S₁, в котором объект восстанавливается. Функционирование объекта заключается в последовательности переходов от одного состояния к другому. Интенсивность перехода от S₀ к S₁ равна l (интенсивности отказов), интенсивность перехода от S₁ к S₀ равна m (интенсивности восстановления).

Функционирование объекта можно описать графом, изображенном на рис.6.1.

Обозначим через P₀(t) вероятность того, что в момент t объект находится в состоянии S₀ (т.е. работает), через P₁(t) - вероятность того, что в момент t объект находится в состоянии S₁ (т.е. восстанавливается). Таким образом, P₀(t) = K_г (t), P₁(t) = K_п(t). Изменение состояний представляет собой дискретный марковский процесс, а вероятности П₀(t) и П₁(t) описываются системой уравнений:

Дифференциальные уравнения (1) называются уравнениями переходного режима. Уравнение (2) - уравнением нормировки, условия (3) - начальными условиями. Отметим, что уравнение нормировки (2) делает лишним одно из дифференциальных уравнений (1) (одно из уравнений будет следовать из другого) и одно из начальных условий (3). Получаем в результате систему уравнений:

Решив эти уравнения, получаем

Таким образом, получили выражения для функции готовности K_Г(t) = P₀(t) и функции простоя K_п (t) = P₁(t)

Теперь можем записать в аналитическом виде и функцию оперативной готовности

.

Отметим, что при

Значения P₀ и П₁ совпадают с полученными в начале этого раздела значениями К_Г и К_п.

Задав некоторую допустимую погрешность, можем считать, что начиная с некоторого момента времени t* вероятности P₀(t), P₁(t) становятся практически равными П₀, П₁. Промежуток времени 0 < t < t^* называется переходным режимом функционирования объекта, при t > t^* говорят о стационарном режиме функционирования. Обычно время переходного режима значительно меньше промежутка времени, в течение должен эксплуатироваться объект. Поэтому в основном нас будет интересовать стационарный режим.

Для получения вероятностей П₀, П ₁ (стационарного решения) необязательно решать уравнения (1) - (3). В стационарном режиме П₀(t) = П₀, П₁(t) = П₁, следовательно, Начальные условия (3) для стационарного режима не нужны, а уравнения (1) - (2) переходят в систему линейных уравнений

Отсюда опять получается то же самое решение .

Дата добавления: 2015-04-30