Уравнения состояний восстанавливаемой системы

Пусть для восстанавливаемой системы построен граф состояний с интенсивностями перехода L_ij. По графу состояний можно построить систему дифференциальных уравнений, для вероятностей состояний П_i(t):

Уравнения (1) называется уравнениями переходного режима. Правые части уравнений составляются по следующему правилу: производная равна взвешенной сумме вероятности П_i(t) и вероятностей П_j(t) всех тех состояний S_j, из которых на графе выходит дуга, входящая в S_i (L_ji > 0). При этом весовой множитель для П_j (t), равен интенсивности L_ji перехода из S_j в S_i. Весовой множитель при П_i (t) берется со знаком "-", а по абсолютной величине он равен сумме всех интенсивностей на дугах, выходящих из S_i.

Пример 1. Рассмотрим систему с ограниченным восстановлением, для которой в предыдущем разделе был получен граф состояний (рис. 6.4.).

Запишем для этой системы уравнения переходного режима:

Для того, чтобы найти П₀ (t), П₁(t),..., П_n (t) к уравнениям (1) надо добавить уравнение нормировки

и начальное условие

По уравнениям (1), (2) и (3) можно однозначно определить все функции П_i (t).

Как и у восстанавливаемого объекта, у восстанавливаемой системы тоже есть стационарный режим, при котором вероятности П_i (t) переходят в стационарные значения П_i. При этом уравнения переходного режима превращаются в уравнения стационарного режима:

а уравнение нормировки выглядит так:

Уравнения (4) - (5) представляют собой систему линейных уравнений, решая которую, получаем стационарное решение П₀, П₁,...., П_n.

Отметим, что если просуммировать все уравнения (4), то получится тождество 0 = 0. Поэтому при решении уравнений (4) - (5) одно из уравнений стационарного режима можно исключить (обычно исключают самое громоздкое уравнение).

Функции готовности и простоя для стационарного режима переходят в коэффициенты готовности и простоя: .

Обычно при расчете надежности восстанавливаемых систем ограничивается анализом стационарного режима. Значения К_г и К_п выбираются в качестве показателей надежности системы.

Пример 2. Для системы с ограниченным восстановлением из предыдущего примера запишем уравнения стационарного режима:

Уравнение нормировки П₀ + П₁ + П₂ + П₃ + П₄ = 1.

Первое уравнение может исключить. Для упрощения расчетов возьмем конкретные значения интенсивностей: l₁=1, l₂=3; m₁=2, m₂=5.

Получаем уравнения:

Решая эту систему, получим П₀ = 0,38; П₁ = 0,13; П₂ = 0,25; П₃ = 0,19; П₄ = 0,05.

Следовательно, показатели надежности K_г = П₀ + П₁ + П₂ = 0,76; K_п = П₃ + П₄ = 0,24.

Дата добавления: 2015-04-30