Граф состояний восстанавливаемой системы

Каждое состояние определяется множеством работоспособных элементов и множеством восстанавливающихся элементов Пусть S₀,..., S _m - состояния, в которых система работоспособна, при этом S₀ - состояние, в котором все элементы системы работают; S_m+1,..., S_n - состояния отказа системы. Вероятности, что система в момент t находится в одном из этих состояний, обозначим соответственно П₀(t), П₁(t),..., П_n(t).

В качестве показателей надежности системы используются функция готовности К_г(t) - вероятность того, что система в момент t находится в состоянии готовности:

а также функция простоя K_п (t) - вероятность того, что система в момент t находится в состоянии простоя:

.

При исследовании надежности восстанавливаемых систем будем предполагать, что каждый элемент системы имеет постоянную интенсивность отказов, и время его восстановления распределено по показательному закону. Таким образом, элемент k в системе описывается интенсивностью отказов l_k и интенсивностью восстановления m_k.

Если переход из состояния S_i в состояние S_j происходит за счет отказа или восстановления одного из элементов, то введем интенсивность перехода из S_i в S_j, равную интенсивности соответствующего отказа или восстановления. Обозначим интенсивность перехода из S_i в S_j, через L_ij. Построим граф состояний системы: вершины графа будут соответствовать состояниям системы; если L_ij > 0, то вершины S_i и S_j соединяются дугой, направленной от S_i в S_j. Дуга помечается интенсивностью перехода L_ij.

Пример 1. Рассмотрим систему из двух последовательно соединенных элементов. У первого элемента интенсивность отказа - l₁, интенсивность восстановления - m₁, у второго соответственно l₂ и m₂. Во время восстановления одного из элементов система прекращает работу, и второй элемент в это время отказать не может. Состояния системы:

S₀ - оба элемента работают;

S₁ - отказал и восстанавливается первый элемент;

S₂ - отказал и восстанавливается второй элемент.

Здесь S₀ - рабочее состояние, S₁ и S₂ - состояния отказа.

К_Г(t) = П₀(t), К_П(t) = П₁(t) + П₂(t).

Пример 2. элементы соединены параллельно. Тогда при отказе одного из элементов система продолжает работать, и другой элемент может отказать раньше, чем первой восстановится. Считаем, что отказе двух элементов оба будут восстанавливаться одновременно (неограниченное восстановление), и после восстановления хотя бы одного элемента система сразу включается в работу. Добавим к состояниям S₀, S₁ и S₂ состояние S₃ - отказали и восстанавливается оба элемента.

Граф состояний системы изображен на рисунке 6.3. Здесь S₀, S₁, S₂ - рабочие состояния, S₃ - состояние отказа.

К_Г(t) = П₀(t) + П₁(t) + П₂(t), К_П(t) = П₃(t).

Пример 3. Рассмотрим систему с параллельным соединением из предыдущего примера. Предположим, что восстанавливающее устройство (или мастер - ремонтник) только одно. Тогда в случае отказа обоих элементов восстанавливаться может только один (который отказал первым), а другой элемент ожидает окончания восстановления первого элемента, и только после этого начинает восстанавливаться (ограниченное восстановление).

Состояния системы:

S₀ - оба элемента работают;

S₁ - первый восстанавливается, второй работает;

S₂ - второй восстанавливается, первый работает;

S₃ - первый восстанавливается, второй ожидает;

S₄ - второй восстанавливается, первый ожидает;

Граф состояний системы изображен на рисунке 6.4.

Здесь S₀, S₁, S₂ - рабочие состояния, S₃, S₄ - состояния отказа.

К_Г(t) = П₀(t) + П₁(t) + П₂(t), К_П(t) = П₃(t) + П₄(t).

Пример 4. Предположим, что у обоих элементов системы одинаковые интенсивности отказов и интенсивности восстановлений: l_l = l₁ = l, m₁ = m₂ = m. Тогда можно упростить графы состояний.

Для системы с последовательным соединением (пример 1) можно построить граф,

Здесь S₀ - оба элемента работают;

S₁ - один из элементов отказал и восстанавливается.

Тогда К_Г(t) = П₀(t), К_П(t) = П₁(t).

Для системы с параллельным соединением и неограниченным восстановлением (пример 2) можно построить граф, изображенный на рисунке

Здесь S₂ - оба элемента восстанавливаются.

Тогда К_Г(t) = П₀(t) + П₁(t), К_П(t) = П₂(t).

Для системы с параллельным соединением и ограниченным восстановлением (пример 3) граф состояний изображен на рисунке 6.7.

Здесь S₀ - оба элемента работают;

S₁ - один элемент работает, другой восстанавливается;

S₂ - один элемент восстанавливается, другой ожидает очереди на восстановление.

В этом случае также К_Г (t) = П ₀(t) + П₁(t), К_п(t) = П₂(t).

Дата добавления: 2015-04-30