Операции над событиями

При разработке аппарата и методики исследования случайных событий в теории вероятностей очень важным является понятие суммы и произведения событий.

Суммой, или объединением, нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Сумма событий обозначается так:

Например, если событие есть исправная работа изделия в течение первого часа работы, а событие – исправная работа изделия в течение второго часа работы, то событие есть исправная работа изделия либо в течение первого часа либо в течение второго.

Произведением, или пересечением, нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Произведение событий обозначается

Например, если событие есть исправная работа изделия в течение первого часа работы, а событие – исправная работа изделия в течение второго часа работы, то событие есть исправная работа в течение всего времени.

Понятия суммы и произведения событий имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Пусть событие состоит в попадании точки в область A, событие — в попадании в область B, тогда событие состоит в попадании точки в жёлтую область на рис. 1, и событие — в попадании точки в область, желтую область на рис. 2.

Рис. 1

Рис. 2

Классическое определение вероятности случайного события

Для количественного сравнения событий по степени возможности их появления вводится числовая мера, которая называется вероятностью события.

Вероятностью события называется число, являющееся выражением меры объективной возможности появления события.

Вероятность события будем обозначать символом .

Если у нас есть равновероятных событий, а событие наступает в случаях, то вероятностью события назовём число равное отношению к .

(1.1)

Это есть классическое определение вероятности. Таким образом, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, найти совокупность единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев, подсчитать общее их число , число случаев , благоприятствующих данному событию, и затем выполнить расчет по формуле (1.1).

Из формулы (1.1) следует, что вероятность события является неотрицательным числом и может изменяться в пределах от нуля до единицы в зависимости от того, какую долю составляет благоприятствующее число случаев от общего числа случаев:

Отметим свойства вероятности.

Свойство 1. Если все случаи являются благоприятствующими данному событию , то это событие обязательно произойдет. Следовательно, рассматриваемое событие является достоверным, а вероятность его появления , так как в этом случае ;

Свойство 2. Если нет ни одного случая, благоприятствующего данному событию , то это событие в результате опыта произойти не может. Следовательно, рассматриваемое событие является невозможным, а вероятность его появления , так как в этом случае :

Свойство 3. Вероятность наступления событий, образующих полную группу, равна единице.

Свойство 4. Вероятность наступления противоположного события определяется так же, как и вероятность наступления, события и равно единице минус вероятность наступления события :

Где — число случаев, благоприятствующих появлению противоположного события .

(1.2)

Важное достоинство классического определения вероятности события состоит в том, что с его помощью вероятность события можно определить, не прибегая к опыту, а исходя из логических рассуждений.

Пример 1. Найти вероятность того, что, кинув два кубика, сумма точек окажется равной 3.

Решение. Количество различных комбинаций равно . Рассмотрим благоприятные комбинации: если на первом кубике выпадает 1, а на втором – 2, если на первом кубике выпадает 2, а на втором – 1. Таким образом, вероятность, что на двух кубиках в сумме будет 3, равна .

Дата добавления: 2015-04-30