Теоремы сложения вероятностей

Зависимые и независимые случайные события. Основные формулы сложения и умножения вероятностей

Понятия зависимости и независимости случайных событий. Условная вероятность. Формулы сложения и умножения вероятностей для зависимых и независимых случайных событий. Формула полной вероятности и формула Байеса.

Найдем вероятность суммы событий и (в предположении их совместности либо несовместности).

Теорема 2.1. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме их вероятностей:

Пример 1. Вероятность P{ того, что прибор выйдет из строя за 1-ый год работы равна 0.001. Вероятность того, что это произойдёт на второй год , а на третий . Найти вероятность того, что прибор проработает более трёх лет.

Решение. Найдём вероятность того, что прибор выйдет из строя за первые три года работы. . Тогда вероятность того, что прибор проработает безотказно в течение трёх лет равна

Теорема 2.1 сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. Использование ее для нахождения вероятности совместных событий может привести к неправильным, а иногда и абсурдным выводам, что наглядно видно на следующем примере.

Пример 2. Вероятность того, что прибор выйдет из строя за 1-ый год работы равна 0.4. Вероятность того, что это произойдёт за первые два года , а за первые три года . Найти вероятность того, что прибор проработает более трёх лет.

Неправильное решение. Найдём вероятность того, что прибор выйдет из строя за первые три года работы. , что уже абсурдно. Тогда вероятность того, что прибор проработает безотказно в течение трёх лет равна . Т.е. так вычислять никак нельзя.

Правильное решение

В задаче много лишних параметров дано. Нам достаточно того, что вероятность отказа за первые три года . Тогда вероятность того, что прибор проработает более трёх лет

Сформулируем теорему сложения вероятностей в случае двух совместных событий (будет учитываться вероятность их совместного появления).

Теорема 2.2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих двух событий без вероятности их совместного появления:

Пример 3. Пусть известно, что вероятность поломки прибора за первые два года жизни равна 0.01, за второй и третий год – 0.05, а за первые три года вместе – 0.04. Какова вероятность того, что прибор откажет на втором году жизни.

Тогда вероятность того, что прибор откажет на втором году жизни равна 0.02.

Дата добавления: 2015-04-30