Предельные вероятности состояния

Пусть система S с дискретным состоянием S_i протекающие значение от 1 до n в котором протекает Марковский случайны процесс с дискретным состоянием и непрерывным. временем.

Записав систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятности состояния и, проинтегрировав её при заданных начальных условиях получим, N функции.

P₁(t),P₂(t),…P_n(t),

Для которых выписывается условие

n

∑ Р_i(t) = 1

i=1

Поставим вопрос: что будет происходить с системой S при t→∞, будет ли функция P_i(t) стремится к каким-то пределам. эти приделы если они существуют, называются вероятностями состояния Можно доказать следующие положение.

если число состояний системы S конечный из каждого состояния можно перейти за то или другое число шагов в любое другое, то представление вероятности состояний на существование и не зависит от начального состояния системы. Таким образом, при t→∞, в системе S устанавливается предельно стационарный режим. Он состоит в том, что система случайным образом меняет свои состояния, но вероятность каждого из них уже не зависит от времени. Каждое состояние устанавливается с некоторым постоянной вероятностью. Эта вероятность представляет собой относительное время прибивания системы в данном состоянии. Например,если у системы S3 возможных состояния S₁,S₂,S₃. их представления вероятности 0,2; 0,4; 0,4. это означает что после перехода к установившемуся режиму система S в среднем 0,2 времени будет находится состоянии S₁и по 0,4 всего времени в состоянии S₂,S₃. Для вычислительных пределах вероятности состояний нужно в уравнениях Колмогорова все производные прировнять к нулю. При этом система дифференциальных уравнений превращается в систему линейно алгебраического выражения, совместно с условиями

n

∑ = Pi (t) = 1

i=1

Эти уравнения дают вычислить все представленные вероятности состояний P_i(i = 1..n)

Пример:

Определить представление вероятности состояний для системы при следующих интенсивностях перехода.

λ₁₂=2

λ₂₁=1

λ₁₃=3

λ₂₃=0,5

λ₃₂=1,5

Составим уравнение, левые части которых прировняем к нулю

0 = - λ₁₂P₁+ λ₁₃+ λ₂P₂

0= - λ₂₁P₂- λ₂₃P₂+ λ₃₂*P₃+ λ₁₂P₁

0= - λ₂₃P₃+ λ₁₃P₁+ λ₂₃P₂

Эта система определяет величину вероятностей Р1,Р2,Р3 с точность до постоянного множества.

Взяв Р₁+Р₂+Р₃=1 (нормирующее условие)

Р1 = λ₂₁- λ₃₂ / А

где

А = (λ₁₂+ λ₁₃)(λ₂₃+ λ₃₂) λ₂₁(λ₁₃+ λ₃₂)

Р₂ = λ₃₂(λ₁₂+ λ₁₃)/ А

Р₃ = 1-Р₁-Р₂

Р=0,103 Р₂=0,516 Р₃=0,381

Дата добавления: 2015-04-30