Структурные схемы надежности систем с другими видами соединения элементов

8.4.1. Параллельно-последовательное соединениеэлементов. В практике проектирования технических систем часто используют структурные схемы надежности с параллельно-последовательным соединением (смешанным) элементов.

Пример 8.2. Техническая система предназначена для выполнения некоторой задачи. С целью обеспечения работоспособности система спроектирована со смешанным соединением элементов (рис. 8.3.).

Определить надежность системы, если известно, что надежность ее элементов равна p ₁ = 0,99; p ₂ = 0,98; p ₃ = 0,9; p ₄ = 0,95; p ₅ = 0,9; p ₆ = 0,9; p ₇ = 0,8; p ₈ = 0,75; p ₉ = 0,7.

Рис. 8.3. Структурная схема надежности технической системы

Решение. При расчете надежности воспользуемся формулами как для последовательного, так и для параллельного соединения элементов:

Р = p ₁ p ₂[1 – (1– p ₃ p ₄)(1 – p ₅ p ₆)][1 –(1 – p ₇)(1 – p ₈)(1 – p ₉)] =

= 0,99×0,98[1 – (1 – 0,9×0,95)(1 – 0,9×0,9)][1 – (1 – 0,8)(1 – 0,75)(1 – 0,7)] = 0,927.

При расчете надежности системы данную систему представляют в виде структурной схемы, в которой элементы, отказ которых приводит к отказу всей системы, изображаются последовательно, а резервные элементы или цепи – параллельно.

Конструктивное оформление элементов, их последовательное или параллельное соединение в конструкции еще не означает аналогичного изображения в структурной схеме надежности.

Разницу между конструктивной (монтажной) и структурной схемами можно показать на примере работы двух фильтров гидросистемы, которые для повышения надежности работы системы могут быть установлены (рис. 8.4) последовательно или параллельно.

Отказ фильтра может произойти в результате двух основных причин – засорения сетки и ее разрыва.

В случае засорения сетки структурная схема надежности соответствует конструктивной. Последовательное соединение фильтров в этом случае только снизит надежность системы, так как отказ любого из фильтров приведет к отказу системы, поскольку необходимый поток жидкости не будет проходить сквозь фильтр.

Рис. 8.4. Конструктивные и структурные схемы надежности соединения фильтров при различных видах отказов

При отказе фильтра из-за разрыва сетки структурная схема надежности противоположна конструктивной. При параллельном конструктивном выполнении отказ любого фильтра будет означать отказ системы, так как при разрыве сетки поток жидкости пойдет через данный фильтр и не будет происходить ее фильтрация. Поэтому структурная схема надежности изображена в виде последовательных элементов. При последовательном конструктивном включении фильтров, наоборот, разрыв сетки одного из них не будет означать отказа, поскольку дублирующий фильтр продолжает выполнять свои функции. Поэтому структурная схема надежности изображена в виде параллельного соединения.

8.4.2. Системы типа «m из n». Систему типа «m из n»можно рассматривать как вариант системы с параллельным соединением элементов, отказ которой произойдет, если из n элементов, соединенных параллельно, работоспособными окажутся менее m элементов (m < n).

На рис. 8.5 представлена система «2 из 5», которая работоспособна, если из пяти ее элементов работают любые два, три, четыре или все пять (на схеме пунктиром обведены функционально необходимые два элемента, причем выделение элементов 1 и 2 произведено условно, в действительности все пять элементов равнозначны).

Системы типа «m из n» наиболее часто встречаются в электрических и связных системах (при этом элементами выступают связующие каналы), технологических линий, а также при структурном резервировании.

Для расчета надежности систем типа «m из n» при сравнительно небольшом количестве элементов можно воспользоваться методом прямого перебора. Он заключается в определении работоспособности каждого из возможных состояний системы, которые определяются различными сочетаниями работоспособных и неработоспособных состояний элементов.

Все состояния системы «2 из 5» занесены в табл. 8.1 (в таблице работоспособные состояния элементов и системы отмечены знаком «+», неработоспособные – знаком «–»).

Для данной системы работоспособность определяется лишь количеством работоспособных элементов.

Таблица 8.1

№ состояния	Состояние элементов	Состояние системы	Вероятность работоспособного состояния системы
	+	+	+	+	+	+	р ^5
	+	+	+	+	–	+	р ^4(1 – p)
	+	+	+	–	+
	+	+	–	+	+
	+	–	+	+	+
	–	+	+	+	+
	+	+	+	–	–	+	р ^3(1 – p)^2
	+	+	–	+	–
	+	–	+	+	–
	–	+	+	+	–
	+	+	–	–	+
	+	–	+	–	+
	–	+	+	–	+
	+	–	–	+	+
	–	+	–	+	+
	–	–	+	+	+
	+	+	–	–	–	+	р ^2(1 – p)^3
	+	–	+	–	–
	–	+	+	–	–
	+	–	–	–	+
	–	+	–	–	+
	–	–	–	+	+
	+	–	–	+	–
	–	+	–	+	–
	–	–	+	–	+
	–	–	+	+	–
	+	–	–	–	–	–	p (1 – p)^4
	–	+	–	–	–
	–	–	+	–	–
	–	–	–	+	–
	–	–	–	–	+
	–	–	–	–	–	–	(1 – p)^5

По теореме умножения вероятностей вероятность любого состояния определяется как произведение вероятностей состояний, в которых пребывают элементы.

Например, в строке 9 описано состояние системы, в которой отказали элементы 2 и 5, а остальные работоспособны. При этом условие «2 из 5» выполняется, так что система в целом работоспособна. Вероятность такого состояния (предполагается, что все элементы равнонадежны):

P ₉ = p ₁ q ₂ p ₃ p ₄ q ₅ = p ³ q ².

С учетом всех возможных состояний вероятность безотказной работы системы может быть найдена по теореме сложения вероятностей всех работоспособных сочетаний. Поскольку в табл. 8.1 количество неработоспособных состояний меньше, чем работоспособных (соответственно 6 и 26), проще вычислить вероятность отказа системы. Для этого суммируются вероятности неработоспособных состояний (где не выполняется условие «2 из 5»).

Вероятность отказа системы:

Q = P ₂₇+ p ₂₈ + p ₂₉ + p ₃₀ + p ₃₁ + p ₃₂ =

= 5 p (1 – p)⁴ + (1 – p)⁵ = 1 – 10 р ² + 20 р ³ – 15 р ⁴ + 4 р ⁵

Тогда вероятность безотказной работы системы:

Р = 1 – q = 10 р ² – 20 р ³ + 15 р ⁴ – 4 р ⁵.

Расчет надежности системы «m из n» может производиться комбинаторным методом, в основе которого лежит формула биномиального распределения.

Биномиальному распределению подчиняется дискретная случайная величина k – число появлений некоторого события в серии из n опытов, если в отдельном опыте вероятность появления события составляет p. При этом вероятность появления события ровно k раз определяется

, (8.5)

где С ^k_n – биноминальный коэффициент, число сочетаний по k из n (т.е. сколькими разными способами можно реализовать ситуацию «k из n»).

. (8.6)

Поскольку для отказа системы «m из n» достаточно, чтобы количество исправных элементов было меньше m, вероятность отказа может быть найдена по теореме сложения вероятностей для k = 0, 1, …(m – 1):

. (8.7)

Аналогичным образом можно найти вероятность безотказной работы как сумму (8.5) для k = m, m + 1, …, n:

. (8.8)

Для системы «2 из 5» (рис. 8.5) по формуле (8.8) получим:

=

= 10 р ²(1 – p)³ + 10 р ³(1 – p)² + 5 р ⁴(1 – p) + р ⁵.

Тогда вероятность безотказной работы системы:

Р = 10 р ² – 20 р ³ + 15 р ⁴ – 4 р ⁵

В табл. 8.2 приведены формулы для расчета вероятности безотказности систем типа «m из n» при m £ n £ 5. Очевидно, при m = 1 система превращается в обычную систему с параллельным соединением элементов, а при m = n –с последовательным соединением.

Таблица 8.2

8.4.3. Мостиковые схемы. Широкое применение в проектировании нашли так называемые мостиковые схемы.

Мостиковая структура (рис. 8.6, а, б) не сводится к параллельному или последовательному типу соединения элементов, а представляет собой параллельное соединение последовательных цепочек элементов с диагональными элементами, включенными между узлами различных параллельных ветвей (элемент 3 на рис. 8.6, а, элементы 3 и 6 на рис. 8.6, б). Работоспособность такой системы определяется не только количеством отказавших элементов, но и их положением в структурной схеме.

Например, работоспособность технической системы (рис. 8.6, а), будет утрачена при одновременном отказе элементов 1 и 2, или 4 и 5, или 2, 3 и 4 и т.д. В то же время, отказ элементов 1 и 5, или 2 и 4, или 1, 3 и 4, или 2, 3 и 5 к отказу системы не приводит.

Рис.8.6 Мостиковые схемы

Для расчета надежности мостиковых систем можно воспользоваться методом прямого перебора, как это было сделано для систем «m из n» (п. 8.4.2), но при анализе работоспособности каждого состояния системы необходимо учитывать не только число отказавших элементов, но и их положение в схеме (табл. 8.3).

Таблица 8.3.

Таблица состояний мостиковой системы

№ состояния	Состояние элементов	Состояние системы	Вероятность работоспособного состояния системы при равнонадежных элементах
	+	+	+	+	+	+	р ^5
	+	+	+	+	–	+	р ^4(1 – p)
	+	+	+	–	+
	+	+	–	+	+
	+	–	+	+	+
	–	+	+	+	+
	+	+	+	–	–	–	р ^3(1 – p)^2
	+	+	–	+	–
	+	–	+	+	–
	–	+	+	+	–
	+	+	–	–	+
	+	–	+	–	+
	–	+	+	–	+
	+	–	–	+	+
	–	+	–	+	+
	–	–	+	+	+	–
	+	+	–	–	–	–	р ^2(1 – p)^3
	+	–	+	–	–
	–	+	+	–	–
	+	–	–	–	+
	–	+	–	–	+	+
	–	–	–	+	+	–
	+	–	–	+	–	+
	–	+	–	+	–	–
	–	–	+	–	+
	–	–	+	+	–
	+	–	–	–	–	p (1 – p)^4
	–	+	–	–	–
	–	–	+	–	–
	–	–	–	+	–
	–	–	–	–	+
	–	–	–	–	–	(1 – p)^5

Вероятность безотказной работы системы определяется как сумма вероятностей всех работоспособных состояний:

(8.9)

В случае равнонадежных элементов:

. (8.10)

Метод прямого перебора эффективен только при малом количестве элементов n поскольку число состояний системы составляет 2 ⁿ.

Например, для схемы на рис. 8.6, б их количество составит уже 256. Некоторое упрощение достигается, если в таблицу состояний включать только сочетания, отвечающие работоспособному (или только неработоспособному) состоянию системы в целом.

Для анализа надежности ТС, структурные схемы которых не сводятся к параллельному или последовательному типу, можно воспользоваться также методом логических схем с применением алгебры логики (булевой алгебры). Применение этого метода сводится к составлению для технической системы формулы алгебры логики, которая определяет условие работоспособности системы. При этом для каждого элемента и системы в целом рассматриваются два противоположных события – отказ и сохранение работоспособности.

Вопросы для самоконтроля.

1. Дайте характеристику сложной системы. Какие факторы отрицательно влияют на ее надежность.

2. Дайте характеристику сложной системы. Какие факторы положительно влияют на ее надежность.

3. Дайте характеристику структурной схемы надежности с последовательным соединением элементов. Запишите выражение для определения вероятности безотказной работы системы с такой структурной схемой.

4. Дайте характеристику структурной схемы надежности с параллельным соединением элементов. Запишите выражение для определения вероятности безотказной работы системы с такой структурной схемой.

5. Дайте характеристику структурной схемы надежности с последовательно-параллельным соединением элементов. Запишите выражение для определения вероятности безотказной работы системы с такой структурной схемой на примере.

Дата добавления: 2015-04-30