Метод статистического (имитационного) моделирования

В случаях, когда решение задач надежности аналитическими методами связано с большой сложностью, громоздкостью, недостатком и неопределенно­стью информационного обеспечения, применяют статистическое (имитацион­ное) моделирование. Процесс имитационного моделирования представляет со­бой процедуру многократного повторения определенных внешних условий и взаимодействий элементов электрической системы. В результате каждого тако­го опыта формируется конкретная реализация исхода испытания. После их се­рии исследователь получает выборку случайных реализаций, которая подверга­ется стандартным процедурам статистической обработки. Таким образом, в этом методе моделирование рассматривается как последовательность экспери­ментов, в которых моделируются события, происходящие в моменты, опреде­ляемые случайными процессами с заданными распределениями вероятностей.

Основу имитационного моделирования составляет метод статистического моделирования (метод Монте-Карло). Это численный метод решения матема­тических задач при помощи моделирования случайных величин. Датой рожде­ния этого метода принято считать 1949 г. Создатели его – американские мате­матики Л.Нейман и С. Улам. Первые статьи о методе Монте-Карло в СССР бы­ли опубликованы в 1955 г. Однако до появления ЭВМ этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, ибо моделировать случайные величины вручную — достаточно трудоемкая работа. Название метода происходит от го­рода Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными дома­ми, а одним из простейших механических приборов для получения случайных величин является рулетка.

Метод Монте-Карло имеет две особенности. Первая - простота вычисли­тельного алгоритма. В программе вычислений предусмотрено, что для осуще­ствления одного случайного события выбирается случайная точка и проверяет­ся, принадлежит ли она некоторому множеству (или пространству) S. Это ис­пытание повторяется N раз, причем каждый опыт не зависит от остальных, а результаты всех опытов усредняются. Поэтому метод и называют – метод ста­тистических испытаний. Вторая особенность метода заключается в том, что он справедлив только тогда, когда случайные точки будут не просто случайными, а еще и равномерно распределенными в анализируемом пространстве, а ошиб­ка, вычислений е пропорциональна числу испытаний N:

,

где D ≈ 1 – значение некоторой постоянной в приближенных расчетах.

Из этой формулы видно, что для того, чтобы уменьшить ошибку в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N (объем испытаний) в 100 раз.

Использование имитационного моделирования для расчета надежности сложных технических систем основано на том, что процесс их функционирова­ния представляется математической вероятностной моделью, отражающей в реальном масштабе времени все события (отказы, восстановления), происхо­дящие в системе. С помощью такой модели на ЭВМ многократно моделируется процесс функционирования системы, и по полученным результатам определя­ются искомые статистические характеристики этого процесса, являющиеся по­казателями надежности. Применение методов имитационного моделирования позволяет учитывать зависимые отказы, произвольные законы распределения случайных величин и другие факторы, влияющие не надежность. Однако эти методы, как и любые другие численные методы, дают лишь частное решение поставленной задачи, соответствующее конкретным (частным) исходным дан­ным, не позволяя получить показатели надежности в функции времени. Поэто­му для проведения всестороннего анализа надежности приходится многократно моделировать процесс функционирования системы с разными исходными данными. В нашем случае это, прежде всего, различная структура электрической системы, различные значения вероятностей отказа и длительностей безотказной работы, которые могут изменяться в процессе эксплуатации системы, и другие показатели функционирования.

Имитационное моделирование может использоваться для предсказания поведения сложной системы (ЭЭС, СЭС крупного производственного объекта и т.п.) в следующих случаях:

· если не существует законченной постановки задачи исследования и идет процесс познания объекта моделирования;

· если аналитические методы имеются, но математические процедуры столь сложны и трудоемки, что имитационное моделирование дает более простой способ решения задачи;

· когда кроме оценки параметров системы желательно осуществить наблюде­ние за поведением ее компонент;

· когда имитационное моделирование является единственным способом иссле­дования системы из-за невозможности наблюдения процессов и явлений в ре­альных условиях;

· когда необходимо контролировать протекание процессов в системе путем ус­корения или замедления явлений в ходе имитации;

· при подготовке специалистов и освоении новой техники;

· когда изучаются новые ситуации в сложных системах, о которых мало или ничего неизвестно;

· когда особое значение Имеет последовательность событий в проектируемой системе и модель используется для предсказания «узких мест» функциониро­вания ЭЭС и СЭС.

Создание имитационной модели начинается с постановки задачи. Но час­то заказчик формулирует задачу недостаточно четко. Поэтому работа обычно начинается с поискового изучения системы. Это порождает новую информа­цию, касающуюся ограничений и поиска возможных альтернативных вариан­тов. В результате возникает необходимость в проведении следующих этапов:

· построения содержательного описания системы;

· выбора показателей качества ее функционирования;

· детализации описания режимов функционирования;

· определения управляющих переменных;

· построения формальной (аналитической) модели; разработки программного обеспечения процесса имитации;

· проведения имитационных экспериментов;

· анализа результатов.

Известно (рис. 2.43), что изменение состояний системы вызывается отка­зами и восстановлениями составляющих ее элементов. Процесс функциониро­вания ЭЭС, состоящей из n элементов, показан на рис. 5.10.

Величины , связаны между собой соотношениями:

(5.4)

Отказы и восстановления происходят в случайные моменты времени. По­этому интервалы между моментами отказов и восстановлений можно рассматривать как реализации непрерывных случайных величин: – нарабо­ток между отказами и времен восстановления i -го элемента – .Тогда про­цесс функционирования ЭЭС или СЭС представляется как поток случайных со­бытий, связанных с изменением состояний c ₁ → c ₂ → → c_k,происходящих в случайные моменты времени t ₁, t ₂,…, t_k [22]. Моделирование процесса функ­ционирования исследуемой системы состоит в том, что организуется генерация потоков случайных чисел, подчиненных заданным законам распределения на­работок между отказами и времени восстановления составляющих элементов на интервале времени T (между ППР). К процессу моделирования функциони­рования ЭЭС возможны два основных подхода.

При первом – для i -го элемента системы () в соответствии с задан­ными законами распределения наработок между отказами и времен восстанов­ления определяются интервалы и по формулам (5.4) вычисляются моменты отказов и восстановлений, которые могут произойти за весь иссле­дуемый период T функционирования ЭЭС После этого моменты отказов и вос­становлений элементов, являющиеся моментами изменения состояний ЭЭС t_i располагаются в порядке их возрастания (рис. 5.10). При этом предполагается независимость функционирования элементов ЭЭС. Затем следует анализ полу­ченных путем моделирования состояний c_i системы на принадлежность их к области работоспособных или неработоспособных состояний.

Рис. 5.10. Состояния ЭЭС

Условные обозначения: – момент k -го отказа i -го элемента; – момент k -го восста­новления i -го элемента; – интервал безотказной работы i -го элемента после k – 1-говосстановления; – продолжительность восстановления i -го элемента после k -го отказа; c_i – i -тоесостояние ЭЭС в момент времени t_i.

Более удобен второй подход, на начальном этапе которого для всех эле­ментов моделируются только моменты первого их отказа. По минимальному из них формируется первый переход ЭЭС в другое состояние (из с ₀в с _i) и одно­временно проверяется принадлежность полученного состояния к области работоспособных или неработоспособных состояний. Затем моделируется и фикси­руется момент времени восстановления и следующего отказа того элемента, ко­торый вызвал изменение предыдущего состояния ЭЭС. Снова определяется наименьший из моментов времени первых отказов и этого второго отказа эле­ментов, формируется и анализируется второе состояние ЭЭС – c ₂и т.д. Такой подход в большей мере соответствует процессу функционирования реальной ЭЭС, так как позволяет учесть зависимые события.

При каждом из N повторении испытаний будут получаться новые случай­ные моменты отказов и восстановлений элементов системы. Если из N испыта­ний система отказала M раз (в качестве примера отказ системы на рис. 5.10 по­казан в результате наложения отказов элементов k и n), то вероятность отказа системы за период T составит . Частота отказов определится как

где т_j – число отказов системы при j -м испытании ().

Аналогично можно вычислить и другие показатели надежности системы.

Преимущества метода статистических испытаний перед другими метода­ми оценки надежности состоят в возможности более полного учета особенно­стей функционирования ЭЭС (СЭС), в том числе с зависимыми отказами эле­ментов; использования любых законов распределения случайных величин; на­глядной вероятностной трактовки происходящих событий.

Вместе с тем, метод имеет ряд недостатков, связанных с частным харак­тером решения, соответствующего фиксированным значениям параметров эле­ментов и выбранным начальным условиям, а также с зависимостью точности и количества необходимых реализаций от степени надежности элементов систе­мы. Чем надежнее элементы и система, тем больше времени требуется для рас­чета. Минимальное число испытаний, обеспечивающее желаемую точность, определяется в процессе расчета, а необходимое их число оценивается по вы­ражению

,

где σ² – дисперсия ошибки;

P (∆) – вероятность ошибки, большей ∆.

Указанные преимущества и недостатки метода определяют область его применения, которая ограничивается в основном исследовательскими расчета­ми. Однако метод может рассматриваться в качестве эталонного и использо­ваться для оценки точности других методов.

Контрольные вопросы

1) Каковы основные методы оценки надежности систем электроэнергетики?

2) В чем суть логико-вероятностного метода оценки надежности?

3) Как формируется ФАЛ?

4) Что такое дерево отказов?

5) Каковы условия формулировки понятия отказ системы?

6) Что такое логическая сумма и логическое произведение?

7) Какими элементами представляются логические схемы?

8) Как определяются минимальные сечения?

9) Каков порядок расчета надежности аналитическим методом?

10) Каковы основные допущения при использовании аналитического метода?

11) Какие показатели надежности определяются аналитическим методом?

12) Почему отдельно учитываются длительные и кратковременные отключения эле­ментов анализируемой схемы?

13) В чем суть таблично-логических методов расчета надежности?

14) Как строятся логические функции работоспособности (неработоспособности) сис­темы?

15) Каковы преимущества таблично-логического метода?

16) Как классифицируются аварийные состояния в таблично-логическом методе?

17) Какова последовательность расчета показателей надежности таблично-логическим методом?

18) Как оцениваются экономические последствия аварийных ситуаций?

19) В чем суть метода статистического моделирования?

20) Как определяется и от чего зависит ошибка при статистическом моделировании?

21) Какова область использования метода статистического моделирования?

22) Каковы основные этапы статистического моделирования?

23) Каковы преимущества и недостатки метода статистического моделирования по сравнению с другими?

Дата добавления: 2015-04-30