Графическое оценивание параметров распределения Вейбулла

Оценивание параметров распределения Вейбулла можно находить по вероятностной сетке (рис 3.2.), используя зависимость:

lnL(t)=ln{-ln[1-F(t)]}; y=lnL(t),

где L(t ) -накопленная интенсивность отказов.

Вычисление накопленной частоты отказов производят в следующей последовательности:

- наработки до отказа и до цензурирования выстраиваются в вариационный ряд;

- для каждого значения t_i вычисляются соответствующие значения оценки накопленной интенсивности отказов:

L_i=L_i-1+1/R_i; L₀=0.

где R_i- инверсионный номер изделия, то есть ранг, отсчитанный с конца вариационного ряда.

Если точки с координатами [lnL_i;lnt_i ] на вероятностной сетке удовлетворительно апроксимируются прямой, то переходят к оценке точечных значений параметров a и b.

Пересечение полученной прямой с линией, проведенной параллельно оси абсцисс из точки с ординатой y=0, дает точку, абсцисса которой характеризует точечную оценку параметра а.

Точка пересечения прямой, проведенной из специальной точки А параллельно построенной прямой, со шкалой b дает искомую оценку параметра b.

Оценка параметра а равна абсциссе точки пересечения построенной прямой и линией, проведенной из точки с ординатой F(x)=0,623 или у=0.

ПРИМЕР 3.3. Выполнить графическое оценивание параметров распределения Вейбулла, имея следующую исходную выборку наработок до отказа (сут.) вкладышей универсального шпинделя:

54, 32, 96, 75, 60, 38, 42, 79, 55, 63

.

Решение:

Для нахождения оценок параметров распределения воспользуемся вероятностной сеткой (см. рис 3.2).

На вероятностной сетке справа на оси ординат отложена шкала логарифмов накопленной частоты отказов.

Вычисления накопленной частоты сведем в таблицу.

I	Ri	ti	1/ Ri	Li	ln Li
			0.1	0.1	-2.3
			0.11	0.21	-1.56
			0.125	0.335	-1.09
			0.143	0.478	-0.74
			0.167	0.645	-0.44
			0.2	0.845	-0.17
			0.25	1.095	0.09
			0.333	1.425	0.36
			0.5	1.928	0.66
			1.0	2.925	1.07

Наносим на вероятностную сетку точки с координатами [x=t_i;y=lnL_i] и проводим через них прямую.

Пересечение прямой с линией, проведенной параллельно оси абсцисс из точки с ординатой у=0, дает оценку параметра а:

а=65.

Из точки А проводим луч параллельно построенной прямой до пересечения со шкалой b. Точка пересечения дает оценку параметра b=3,2.

ПРИМЕР 3.4. Исходные данные. Имеется упорядоченная статистическая совокупность:

2,1; 2,8; 3,4; 4,1; 4,5; 5; 5,5; 6,6; 8.

Решение,

Находим ординаты точек, абсциссы которых соответствуют величинам, представленным в исходной выборке, по формуле: Ù

F(x_i)=(i-a)/(N-a-b+1),

где a=0.52 ((b-1)/b) b=0.5-0.2((b-1)/b);

Предварительное ориентировочное значение параметра b найдем из табл.2 прил. по коэффициенту вариации

b=2,6;

тогда:

На вероятностную сетку (рис 3.3.) наносим точки с координатами [2,1;7,3],[2,8;18,1], [3,4;28,8], [4,1;39,6], [4,5;50,3], [5;61,0], [5,5;71,8], [6,6;82,6], [8;93,3]. Проводим через эти точки прямую по методике, описанной в предыдущем примере.

Из специальной точки "А", указанной на вероятностной сетке, проводим луч, параллельно построенной прямой. Точка пересечения луча со шкалой "b" дает значение параметра b=2.6. Значение абсциссы точки на прямой с ординатой 63,8 дает значение параметра а=5.2.

Дата добавления: 2015-04-30