Валеология лекция № 8

ВЫВОД

Расчет

1. В исходной схеме элементы 2 и 3 образуют параллельное соединение. Заменяем их квазиэлементом А. Учитывая, что p₂ = p₃, получим:

(1)

2. Элементы 4 и 5 также образуют параллельное соединение, заменив которое элементом В и учитывая, что p₄ = p₅, получим:

(2)

3. Элементы 6 и 7 в исходной схеме соединены последовательно. Заменяем их элементом С, для которого при p₆ = p₇:

(3)

4. Элементы 8 и 9 образуют параллельное соединение. Заменяем их элементом D, для которого при p ₈ = p ₉, получим:

(4)

5. Элементы 10 и 11 образуют параллельное соединение. Заменяем их элементом Е, причем, так как p ₁₀ = p ₁₁ = p ₈, то

(5)

6. Элементы 12, 13, 14 и 15 образуют соединение «2 из 4», которое заменяем элементом F. Так как p ₁₂ = p ₁₃ = p ₁₄ = p ₁₅, то для определения вероятности безотказной работы элемента F можно воспользоваться выражением, в основе которого лежит формула биноминального распределения (биноминальному распределению подчиняется дискретная случайная величина k – число появлений некоторого события в серии из n опытов, если в отдельном опыте вероятность появления события составляет p).

где – биноминальный коэффициент, называемый «числом сочетаний по k из n» (т. е. сколькими разными способами можно реализовать ситуацию k из n).

.

Поскольку для отказа системы «m из n» достаточно, чтобы количество исправных элементов было меньше m, вероятность отказа может быть найдена по теореме сложения вероятностей для k = 0, 1, …, (m – 1):

Аналогичным образом можно найти вероятность безотказной работы как сумму для k = m, m + 1, …, n:

.

В данном конкретном случае, при n = 4 и m = 2, вероятность безотказной работы элемента F определится выражением:

(6)

7. Преобразованная схема изображена на рис. 2.

Рис. 2

8. Элементы А, В, С, D и Е (рис. 2) образуют мостиковую систему, которую можно заменить квазиэлементом G. Для расчета вероятности безотказной работы воспользуемся методом минимальных путей. Логическая схема мостиковой системы по методу минимальных путей приведена на рис. 3

Система, изображенная на рис. 3 работоспособна до тех пор, пока работоспособны элементы А и D или – B и E, или – A, C и E, или – B, C и D. Таким образом, вероятность работы квазиэлемента G можно определить по формуле:

(7)

9. После преобразования схема примет вид, изображенный на рис. 4.

Рис. 4

10. В преобразованной схеме (рис. 4) элементы 1, G, и F образуют последовательное соединение. Тогда вероятность безотказной работы всей системы определяется выражением:

(8)

11. Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятность безотказной работы элементов с 1 по 15 (рис. 1) подчиняются экспоненциальному закону:

(9)

12. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов 1 – 15 исходной схемы по формуле (9) для наработки до 3·10⁶ часов представлены в табл. 1.

Таблица 1

		Наработка, t – 1 000 000 ч
Элемент		0,5		1,5		2,5		1,9	2,85
	0,001	0,9990	0,9985	0,9985	0,9980	0,9975	0,9970	0,9981	0,9972
2 – 5	0,1	0,9512	0,9048	0,8607	0,8187	0,7788	0,7408	0,8270	0,7520
6,7	0,01	0,9950	0,9900	0,9851	0,9802	0,9753	0,9704	0,9812	0,9719
8 – 11	0,2	0,9048	0,8187	0,7408	0,6703	0,6065	0,5488	0,6839	0,5655
12 – 15	0,5	0,7788	0,6065	0,4724	0,3679	0,2865	0,2231	0,3867	0,2405
A, B	-	0,9976	0,9909	0,9806	0,9671	0,9511	0,9328	0,9701	0,9385
C	-	0,9900	0,9802	0,9704	0,9608	0,9512	0,9418	0,9627	0,9446
D, E	-	0,9909	0,9671	0,9328	0,8913	0,8452	0,7964	0,9001	0,8112
F	-	0,9639	0,8282	0,6449	0,4687	0,3246	0,2173	0,5018	0,2458
G	-	1,0000	1,0000	0,9999	0,9994	0,9979	0,9940	0,9996	0,9955
P	-	0,9629	0,8270	0,6439	0,4675	0,3231	0,2153	0,5006	0,2440
F'	-	0,9993	0,9828	0,9173	0,7954	0,6413	0,4859	0,8234	0,5311
P'	-	0,9983	0,9813	0,9158	0,7934	0,6383	0,4815	0,8215	0,5272

13. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлементов А, В, С, D, Е, F и G по формулам (1) – (7) и также представлены в табл. 1.

14. На рис. 5 представлен график зависимости вероятности безотказной работы системы Р от времени (наработки) t.

Рис. 5

15. По графику (рис. 5, кривая Р) находим для γ = 50% (Р = 0.5) γ-процентную наработку системы t = 1,9·10⁶ ч.

16. Проверочный расчет при t = 1,9·10⁶ ч показывает (табл. 1), что
P _γ = 0,5006 ~ 0,5.

17. По условиям задания находим время, превышающее в 1,5 раза время, соответствующее вероятности безотказной работы, равное 0,5 (P _γ = 0,5):

. (10)

= 1,5·1,9·10⁶ = 2,85·10⁶ ч.

18. Расчет показывает (табл. 1), что при = 2,85·10⁶ ч для элементов преобразованной схемы (рис. 4) p₁ ( ) = 0,9972, p_G ( ) = 0,9955 и p_F ( ) = 0,2458. Следовательно, из трех последовательно соединенных элементов минимальное значение вероятности безотказной работы имеет элемент F (система «2 из 4»
в исходной схеме (рис. 1)), и именно увеличение его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом.

19. Для того чтобы при = 2.85 × 10⁶ ч система в целом имела вероятность безотказной работы P’ = 0,5, надо найти необходимую вероятность безотказной работы элемента F. Так как

где – необходимая вероятность безотказной работы элемента F, то

(11)

20. Для элемента F системы «2 из 4» резервирование означает увеличение общего числа элементов. Аналитически определить минимально необходимое количество элементов достаточно сложно, так как число элементов должно быть целым и функция = f(n) дискретна.

21. Для повышения надежности системы «2 из 4» добавляем к ней элементы, идентичные по надежности исходным элементам 12 – 15, до тех пор, пока вероятность безотказной работы квазиэлемента F не достигнет заданного значения:

- добавляем элемент 16, получаем систему «2 из 5»:

(12)

- добавляем элемент 17, получаем систему «2 из 6»:

(13)

- добавляем элемент 18, получаем систему «2 из 7»:

(14)

22. Таким образом, для повышения надежности до требуемого уровня, необходимо в исходной схеме (рис. 1) систему «2 из 4» достроить элементами 16, 17 и 18 до системы «2 из 7» (рис. 6).

23. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлемента «F» («2 из 7») и системы в целом Р’ представлены в табл. 1.

24. Расчеты показывают, что при t’ = 2,85×10⁶ ч, Р’ = 0,5272 > 0,5, что соответствует условию задания.

1. По данным расчета вероятности безотказной работы системы от времени построен график P(t).

2. По графику найдено время, соответствующее 50% g-процентному ресурсу системы (t = 1,9 × 10⁶ ч).

3. Для увеличения наработки системы в 1,5 раза при 50% g -процентном ресурсе системы предложено нагруженное резервирование основных элементов 12, 13, 14 и 15 идентичными по надежности резервными элементами 16, 17 и 18.

4. Рассчитана вероятность безотказной работы системы с повышенной надежностью от времени, построен график P’(t) системы с повышенной надежностью, на графике (рис. 7) показано время (t’ = 2,85 × 10⁶ ч) соответствующее 50% g -процентному ресурсу.

	Вариант 1 Вариант 2

	Вариант 3 Вариант 4

	Вариант 5 Вариант 6

	Вариант 7 Вариант 8

	Вариант 9 Вариант 10

	Вариант 11 Вариант 12

	Вариант 13 Вариант 14

	Вариант 15 Вариант 16

Вариант 17 Вариант 18

Вариант 19 Вариант 20

Вариант 21 Вариант 22

Вариант 23 Вариант 24

Вариант 25 Вариант 26

Вариант 27 Вариант 28

	Вариант 29 Вариант 30

	Вариант 31 Вариант 32

	Вариант 33 Вариант 34

	Вариант 35 Вариант 36

	Вариант 37 Вариант 38

Вариант 39 Вариант 40

Таблица 2

Численные значения параметров к заданию

№ вар.	γ%	Интенсивности отказов элементов, х10^-6 1/ч
		0.1	1.0	0.5	1.0	0.1
		0.2	0.5	1.0	0.1
		0.1	1.0	2.0	1.0	5.0	0.2
		0.05	1.0	0.5	0.2	0.02
		0.01	0.05	0.1	0.5	1.0
		0.01	0.05	1.0	0.05	0.1	-
		0.05	0.5	0.05	0.005	0.1	0.2	0.1	-
		0.1	0.5 0.2	0.01	0.5	0.1	-
		0.03	0.5 0.2	1.0	0.03	0.1	-
		0.1	0.5	1.0	0.5	1.0	0.1	-
		0.05	0.2	0.5	0.2	0.1
		0.02	0.1	1.0	2.0	0.1	0.05
		0.01	0.2	0.1	1.0	0.5	0.1	-
		0.01	0.1	10.0	0.2	10.0	0.5	0,3
		0.01	1.0	5.0	0.2	5.0	0.1	-
		0.1	1.0	2.0	1.0	5.0	3.0	1.0	0.05
		0.1	5.0	1.0	5.0	10.0	5.0	1.0	0.2
		0.01	1.0	0.1	-
		0.1	5.0	0.5	5.0	1.0	3.0	1.0	5.0	0.5	5.0
		0.1	10.0	20.0	10.0
		0.1	1.0	0.5	2.0	0.5	0.2	1.0
		1.0	0.2	0.5	1.0	0.5	1.0	1.0	0.1

Продолжение табл. 2

		0.5	0.2	1.0	0.5	1.0	0.5	1.0	0.2	0.5	1.0	0.2
		1.0	2.0	4.0	2.0	4.0	5.0	1.0
		0.5	10.0	0.5	5.0	0.8	5.0	1.0	5.0
		1.0	2.0	3.0	5.0	2.0	5.0	1.0
		5.0	10.0	15.0	10.0	10.0	15.0	10.0
		1.0	2.0	5.0	2.0	1.0
		5.0		50.0	30.0	1.0
		2.0	1.0	2.0	1.0	5.0	2.0	5.0	2.0	1.0	2.0	1.0	2.0	1.0
		2.0	1.0	2.0	1.0	5.0	2.0	5.0	2.0	1.0	2.0	1.0	2.0	1.0
		5.0	2.0	5.0	1.0	2.0	3.0	1.0
		1.0	2.0	3.0	4.0	2.0	3.0	5.5	0.2	0.5
		6.0	3.0	6.0	3.0	6.0	20.0	10.0
		1.0	2.0	1.0	2.0	1.0	5.0
		2.0	1.0	0.6
		10.0	30.0	5.0	2.0
		3.0	2.0	1.0	2.0	3.0	2.0
		8.0	3.0	5.0	2.0
		2.0	5.0	8.0	2.0	5.0	8.0
№ вар.

Дата добавления: 2015-04-30