И графическое отображение

Вариационные ряды, их табличное

5.4.1. Табличное и графическое отображение вариационного ряда. Упорядоченные (выстроенные в порядке возрастания или убывания) значения, встречающиеся среди вариант рассматриваемой статистической совокупности, с указанием частот этих значений (того, сколько вариант имеют каждое из указанных значений), называют вариационными рядами. Иными словами, вариационный ряд определяется упорядоченным перечнем значений, встречающихся среди вариант рассматриваемой совокупности, и частот, относящихся к этим значениям. Таким образом, вариационный ряд может быть представлен 2 связанными рядами чисел, например (n = 280):

168 170 173 174 175 176 178 179 180 181 182 183 186 187 190

2 5 10 16 18 25 32 40 36 32 26 17 12 6 3,

где верхний ряд чисел – значения, нижний – частоты этих значений. Таким образом показана совокупность 280 чисел, полученных измерением роста 280 студентов-мужчин. Это табличная форма отображения вариационного ряда.

f

9

6

3

0 х

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Рис.5.1. Полигон частот.

Одной из форм упорядочения статистических совокупностей является их графическое отображение. В прямоугольной системе координат по оси абсцисс располагают шкалу значений вариант, по оси ординат — шкалу частот. Соединяя отрезками прямой точки, отображающие частоты разных значений, получают ломаную линию. Замкнув ее на ось абсцисс на значениях шкалы, соседних (ближайших) с наименьшим и наибольшим значениями вариант (рис.5.1), получаем полигон частот (полигон — по-гречески многоугольник).

Заданный выше в табличной форме вариационный ряд тоже можно представить в графической форме (рис.5.2):

f

40

30

20

10

0 х

166 168 170 172 174 176 178 180 182 184 186 188 190 192

Рис. 5.2. Полигон вариационного ряда, таблично заданного выше.

Если n выборки велико, целесообразно группировать варианты, близкие между собой по значениям. Шкалу по оси абсцисс делят на интервалы (обычно равные), величину каждого интервала называют его шагом. Количество интервалов выбирают в зависимости главным образом от n, но могут влиять и другие соображения. Можно рекомендовать числа интервалов (k), соответствующие разным n:

n 25 – 40 40 – 60 60 –100 100 –200 > 200

k 5 – 6 6 – 8 7 – 10 8 – 12 10–15

Шаг (ширину) интервала (h) определяют делением размаха (R) выборки на n, т.е. h = (x _max– x _min) ï n, округляя результат в сторону увеличения. «Избыточные» части концевых интервалов делают одинаковыми. Все варианты, попадающие в интервал,считают имеющими значение его середины («центра»), что сопряжено с внесением некоторой ошибки в расчеты, но позволяет значительно уменьшить трудоемкость расчетных процедур. В таком интервальном ряде каждой значащей точке полигона частот соответствует количество всех вариант, входящих в соответствующий интервал (это частота интервала). Статистическую совокупность, в которой варианты сгруппированы по интервалам, каждому из которых сопоставлена частота, называют интервальным вариационным рядом. Графически лучше отображать его не полигоном, а гистограммой — столбцового типа диаграммой частот, имеющей вид ступенчатой фигуры (столбцы соприкасаются боковыми сторонами, рис.5.3): каждому интервалу соответствует столбец, по ширине равный шагу интервала (вертикальные стороны столбца поднимают от границ интервала) и по высоте – частоте данного интервала. (Неправомерно называть гистограммой столбцовую диаграмму, отображающую значения любых величин, кроме статистических частот).

f

10

8

4

0

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Рис.5.3. Гистограмма.

5.4.2. Нормальное (гауссово) распределение. Среднее арифметическое выборки (выборочное среднее) только случайно может не отличаться от средней арифметической генеральной совокупности (генеральной средней), полностью совпадать с ней. Если из одной генеральной совокупности сформировано какое-то количество выборок, их средние арифметические, различаясь между собой случайным образом, сами по себе в общей сложности составляют совокупность с определенным распределением вероятностей значений (выборочных средних этих выборок). Характеристикой вариативности значений этих выборочных средних служит стандартная ошибка выборочной средней (стандарт, стандартная ошибка, ошибка репрезентативности), которую мы обозначим символом s.

Это характеристика входит в ряд статистических процедур. Характер распределения частот совокупностях, образованных средними арифметическими выборок из одной генеральной совокупности, если этих выборок сформировано достаточно много, близок к так называемому нормальному распределению,называемого также гауссовым по имени великого математика К.Ф. Гаусса (1777–1855 гг.), обосновавшего данный закон распределения вероятностей. Это теоретическое распределение. Эмпирические же (т.е. получаемые на практике, в опыте, измерениями) распределения, даже те, которые мы рассматриваем как нормальные (гауссовы), могут быть лишь близкими к нему, всегда сколько-нибудь от него отличаясь.

Эмпирические распределения, по характеру близкие к нормальному, формируются, если среди многих факторов, определяющих значения варьирующих признаков, нет одного-двух намного более значимых, чем другие, то есть хотя бы несколько факторов, являющихся основными, наиболее «влиятельными», имеют примерно одинаковую (по уровню) значимость. Если эмпирическое распределение мало отличается от нормального (теоретического), его условно считают нормальным, что позволяет использовать более мощные статистические процедуры (неприменимые к распределениям другого вида). Отличия графиков эмпирических распределений от графика нормального распределения могут состоять в правосторонней или левосторонней скошенности (асимметрии), в остро - или плосковершинности (эксцесс). Кроме того, кривая эмпирического распределения может иметь 2 или 3 вершины (рис.5.3), что отражает характер влияния соответствующих 2 или 3 факторов.

Разработаны специальные критерии (критерии согласия). В соответствии с ними определяют, можно ли считать рассматриваемое нами эмпирическое распределение нормальным — или нельзя. Из них наиболее употребительны c ²-критерий, основанный на сравнении частот интервалов в эмпирическом и теоретическом (в данном случае нормальном) распределении, и W-критерий Шапиро-Уилки. Освоение соответствующих этим критериям процедур не входит в задуманную программу курса. Все же описание их применения включено в состав следующей главы.

Совокупность с нормальным распределением полностью определяется ее объемом (n), средним арифметическим () и средним квадратическим отклонением (s). Ее свойства: 1) в нем значения среднего квадратического (s), моды (Мо) и медианы (Ме) совпадают; 2) интервал значений ± s охватывает»68,3% вариант этой совокупности, интервал ± 2s охватывает»95,5% вариант, интервал ± 3s охватывает»99,7% вариант; 3) если из одной генеральной совокупности получить некоторое множество выборочных совокупностей, их средние арифметические составят совокупность с приблизительно нормальным распределением; 4) графически нормальное распределение отображается колоколообразной кривой, симметричной относительно значения (а также Мо и Ме).

Дата добавления: 2015-04-30