Корреляция

7.2.1. Корреляция как вид статистической зависимости. Одна из форм статистической зависимости — корреляционная зависимость, или корреляция. Это зависимость между двумя (парная корреляция) или несколькими (множественная корреляция) факторами, она может быть одно- или двусторонней, линейной и нелинейной, сильной (тесной) или слабой. Очевидно наличие зависимостей умственных возможностей человека от возраста, веса тела от роста, кровяного давления от возраста, частоты пульса от нагрузки, цен товаров от валютного курса рубля, максимального результата спортсмена в толчке штанги от максимального веса штанги, с которой он может встать из приседа. Проведя определенные статистические процедуры, можно выявить направленность и силу (тесноту) связи (корреляции) между теми или иными факторами. Анализ с использованием таких процедур называют корреляционным анализом.

Говоря в контексте корреляционного анализа о факторах, подразумевают признаки, отобразить которые могут, в принципе, лишь неограниченные (бесконечно большие) совокупности чисел, полученных измерением всех объектов из их соответствующих генеральных совокупностей и представляющие собой статистические совокупности. Но на практике приходится довольствоваться ограниченными выборками из этих совокупностей и оценивать подлинные связи между факторами на основе анализа связи между именно этими выборками — поэтому неизбежно имеет место та или иная вероятность ошибиться, принять неверную оценку или решение.

7.2.2. Корреляционное поле. Рассмотрение корреляции двух факторов (корреляционной связи между ними, их взаимозависимости) полезно начать с построения корреляционного поля — графического отображения этой связи. Возьмем в качестве примера связь между двумя выборками: показатели роста группы мужчин-легкоатлетов и их результатов в беге на 110 м с барьерами. Задача — проверить, есть ли связь, и если есть, то насколько тесная.

Х (рост) 176 178 179 179 180 180 180 182 182 182 184 185 185

Y (рез-ты) 16,1 15,9 16,0 16,1 15,5 15,7 15,9 15,6 15,8 15,9 15,6 15,2 15,8

Х (рост) 185 186 187 188 188 189 190 190 191 192 192 192

Y (рез-ты) 15,9 15,6 15,4 15,3 15,7 15,2 15,3 15,5 15,2 15,2 15,3 15,4

На рисунке 7.1. графически отображено распределени (указаны значения и под ними их частоты):

Рост (см) х 1 х 2 х 3

х 4

190 х 5 х 6

х 7

х 8 х 9

х 10

х 11

185 х 12 х 13 х 14

х 15

х 16 х 17 х 18

180 х 19 х 20 х 21

х 22 х 23

х 24

х 25 Результат (с)

175

15,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16,0

Рис. 7.1. Корреляционное поле по данным примера. Крестиками (х) показаны репрезентативные точки. Их желательно нумеровать в соответствии с номерами, присвоенными спортсменам.

Корреляционное поле строят следующим образом (см. рис.1). Каждый объект обозначим числом и отметим его признаки (здесь рост и спортивный результат) на соответствующих осях, восстановим в этих точках перпендикуляры к осям, и место пересечения перпендикуляров пометим точкой или, например, косым крестиком с числом, присвоенным данному объекту — это репрезентативная точка, т.е. точка, представляющая рассматриваемый объект. Количество точек в корреляционном поле равно количеству обследованных объектов, количеству полученных сопряженных пар чисел. Сопряженные пары (числа, относящиеся к одному и тому же спортсмену) в процессе упорядочения выборок «разлучать» нельзя: «разлучив», нельзя получить репрезентативную точку данного объекта.

Хотя корреляционное поле на рисунке отображает зависимость между ростом спортсменов и их результатами в беге на 110 м с барьерами только в конкретной группе из 25 человек, но мы своим анализом почти всегда пытаемся распространить эту зависимость на всех спортсменов вообще или на данные любых других измерений этих признаков у тех же спортсменов, для чего и оцениваем эту зависимость. Мы говорим о связи факторов, поскольку нас почти всегда интересуют закономерности, свойственные генеральной совокупности объектов, а не конкретным выборкам объектов, хотя помним, что выводы получены на материале конкретных выборок, и потому полученные характеристики корреляции называем выборочными.

Форма и расположение корреляционного поля, то есть общий характер расположения репрезентативных точек, позволяют сделать несколько важных заключений о об анализируемой зависимости.

y y y

м

абв

к

x x x

Рис.7.2. Различные формы и расположение корреляционного поля.

а — корреляции нет, б — нелинейная, в — линейная корреляция.

На рис.7.2, а показаны формы корреляционного поля, фигуры, симметричные относительно проведенных через их середину вертикальных или горизонтальных прямых. Такая форма поля свидетельствует об отсутствии корреляции (статистической связи) между анализируемыми факторами (точнее о настолько слабой корреляции, что ее не стоит принимать во внимание.

Рис.7.2, б — корреляционное поле, искривленная форма которого свидетельствует: зависимость нелинейна, то есть какие-то из переменных в ее уравнении имеют показатели степени иные, чем 1. При такой зависимости можно вычислить корреляционные отношения, но нельзя определять коэффициент корреляции (о нем речь пойдет в следующем разделе лекции).

На рис.7.2, в поле приблизительно симметрично относительно некоторой наклонной к осям прямой км, что говорит о линейной зависимости между факторами. Такую зависимость можно охарактеризовать коэффициентом корреляции.

Y м м ₁ Y к ₂

м ₂

к к ₁

Х Х

Рис.7.3. Левый рисунок отображает прямую (положительную) корреляцию, правый — обратную (отрицательную).

На рис.7.3 (левом) в одном масштабе показаны 2 корреляционных поля: «широкое», многие точки которого расположены далеко от прямой км, и «узкое», точки которого расположены близко к прямой к ₁ м ₁. «Узкое») корреляционное поле характеризует более тесную (сильную) связь между факторами. Если корреляционное поле «вырождается» в прямую, то есть все репрезентативные точки лежат на одной прямой, то это значит, что имеет место не корреляционная, а функциональная зависимость. Оба поля, изображенные на этом рисунке, сходны в одном: четко просматривается одинаковая тенденция соотношения признаков-факторов: репрезентативным точкам с большим значением одного фактора соответствуют большие значения и другого фактора. Это прямая (положительная) зависимость. А в корреляционном поле на правом рисунке тенденция иная: репрезентативным точкам с большим значением одного фактора соответствуют меньшие значения другого фактора — это обратная (отрицательная) зависимость.

Итак, по форме корреляционного поля можно определить:

1)существенна зависимость между рассматриваемыми факторами или нет (так слаба, что можно не учитывать);

2) каков ее характер: линейна она или нелинейна;

3) какова приблизительно теснота (сила) связи;

4) какова направленность связи: с прямой (положительной) или обратной (отрицательной) зависимостью мы имеем дело.

Поэтому полезно хоть для части данных построить корреляционное поле, чтобы составить представление о характере зависимости между факторами и на этой основе план дальнейших действий.

Дата добавления: 2015-04-30