Регрессия

7.4.1. Регрессия как форма статистической зависимости. Корреляционное поле графически отображает статистическую зависимость, при которой каждому конкретному значению одного фактора — например, фактора х — соответствует интервал значений y. Если же каждому конкретному значению фактора х сопоставить среднее значение у по интервалу, на графике получим ряд точек, лежащих на некоторой линии, то есть графическое отображение функциональной зависимости: каждому конкретному значению одного фактора в таком случае соответствует ведь тоже одно конкретное значение. Такой график называют линией регрессии, отображаемую им зависимость — регрессией (регрессионной зависимостью). Это статистическая по существу зависимость, отображенная в форме функциональной.

Сформулируем сущность этой зависимости: регрессия — зависимость от значения х_i (фактора Х) среднего значения () интервала значений фактора Y, возможных при данном конкретном, фиксированном значении (х_i).

Можно сформулировать иначе: регрессия — это зависимость, при которой конкретному значению х_i одного фактора (фактора X) соответствует среднее арифметическое области значений фактора Y), возможных при заданном х_i.

Таким образом, по существу, переход от корреляционной зависимости к регрессионной (от корреляции к регрессии) — это формальный переход от статистической зависимости к функциональной, но при этом сохраняется ясное понимание того, что функциональной зависимостью здесь определяется лишь ори­ентир, вблизи которого с большой вероятностью и ожидаются значения интересующего нас зависимого фактора. Например, если взять зависимость «должного» веса от роста, дается ориентир: например, при росте 170 см «табличный» («должный») вес — 65 кг. Он рассматривается как некий усредненный ориентир, и в зависимости от типа телосложения от этой по самому своему замыслу не обязательной, а очень условной нормы можно в довольно широких пределах отклоняться. Другой пример: для устойчивого повышения результата в прыжках в длину с разбега на 20 см (при уровне результатов 5 м) нужно провести в среднем 15 тренировок — но это, конечно, только ориентир.

7.4.2. Аналитическое (уравнением) и графическое отображения регрессии. На рис. А показано графическое отображение регрессии,

Y Х

у = a₁ + b₁ x х = а₂+b₂ y

D у у = a₁ + b₁ x

j₁D х

D х b₁= D у½ D х j₂b₂ = D х½ D у

D x

а₁ А а₂ Б

0 Х Y

Рис. 7.5. Линии прямой (А), прямой и обратной (Б) линейной регрессии.

соответствующей уравнению у = а + bx — уравнению линейной регресcии, на графике это прямая. Приведенное уравнение представляет собой уравнение прямой, в котором коэффициент (параметр) а ₁ — отрезок, отсекаемый этой прямой от оси абсцисс, он может быть положительным или отрицательным (т.е. может лежать выше или ниже оси абсцисс), коэффициент (параметр) b ₁ — так называемый угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла между нею и осью абсцисс, то есть b ₁ = Dу ô Dх. Коэффициент уравнения регрессии b ₁, определяющий основную часть связи между факторами, называют коэффициентом регрессии. Его изменение влечет за собой изменение угла наклона (j) линии регрессии, тогда как изменение величины коэффициента а, не меняя угла j, ведет к ее смещению вверх или вниз параллельно самой себе на величину изменения а (то есть на Dа).

На рис. Б показаны линии прямой регрессии, соответствующей уравнению у = а₁+b₁х (пунктирная линия) — той же, что и на рис. А, и обратной регрессии, соответствующей уравнению х = а₂+ b₂у (сплошная линия).

По существу, регрессия представляет собой определенную аппроксимацию (упрощающее представление) корреляции, позволяющую ориентировочно определить значение переменной величины, рассматриваемой в качестве зависимой переменной (функции), соответствующее заданному конкретному значению независимой переменной (аргумента).

Коэффициент регрессии b можно определить через коэффициент корреляции r и средние квадратические сопоставляемых выборок (s _у и s _х) по формуле: b = r ´ × s _y÷ s _x. Определив его, легко определить второй коэффициент (а): для этого следует придать переменным у и х значения соответствующих средних арифметических и и решить уравнение а = – b₁ .

Зная коэффициенты уравнения регрессии, легко построить ее линию: для этого нужно отложить на оси Y значение а и определить точку с координатами , после чего через эти две точки провести прямую. Можно поступить иначе: воспользовавшись тригонометрическими таблицами, определить угол, тангенс которого равен b ₁, и под этим углом к оси абсцисс провести прямую через точку а. Еще один способ: провести из точки а вправо луч, параллельный оси абсцисс, отложить на нем (от оси ординат) произвольный отрезок D х, из правого конца которого затем отложить вертикальный отрезок (D у), равный D х× b ₁ (поскольку, как указано выше, b ₁ = D у ½ D х). Через его верхнюю точку и точку а проводим прямую — это и есть искомая линия регрессии.

Y Y

b d f

с

с

а

e

Х X

А Б

Рис. 7.6. А — отображение («замена») корреляционного поля линией линейной регрессии ab, Б — линии 2 разных нелинейных регрессий.

Линию линейной регрессии, определенным образом отобража­ющую корреляцию, можно «на глаз» провести в корреляционном поле, если его форма близка к элиптической (т.е. корреляцию можно считать линейной), как длинную ось эллипса, называя «линией свободной руки» (линия af рис.6 А). Более сложный тип регрессии — нелинейная регрессия — графически отображается некоторой кривой (например, линии cd или ef на рис.6 Б).

7.4.3. Применение уравнений и линий регрессии. Регрессия может быть представлена и таблично: так, например, все таблицы расчета очков, соответствующих конкретным результатам в легкоатлетических многоборьях, построены на базе соответствующих регрессий, на базе регрессий построены и росто-весовые таблицы, различные таблицы норм, многие математические таблицы.

С помощью уравнений (линий, таблиц) регрессии можно косвенно определить текущие возможности спортсмена. Должные или ожидаемые величины в этом случае считают совокупным, интегрированным результатом вклада различных факторов. Уравнения регрессии используют и в биомеханических расчетах, и в медицине, и в экономике. Используется в математическом моделировании.

Применение корреляционного и регрессионного анализа помогает выявлять разного рода зависимости и их характер, дает убедительные доводы в пользу существования этих зависимостей, позволяет получить ориентировочные значения интересующих нас факторов-результатов как следствия конкретных значений факторов-причин. В главе рассмотрены лишь элементарные основы этих методов. В приложениях кратко рассказано также о корреляционных отношениях, а также о частном и множественном коэффициентах корреляции.

7.5. Приложения

Дата добавления: 2015-04-30