Суммирование погрешностей

Определение расчетным путем оценки результирующей погреш­ности по известным оценкам ее составляющих называется суммиро­ванием погрешностей.

Главной проблемой, возникающей при суммировании, явля­ется то, что все составляющие погрешности должны рассматри­ваться как случайные величины. Сточки зрения теории вероятно­стей они наиболее полно могут быть описаны своими законами распределения, а их совместное действие — соответствующим мно­гомерным распределением. Однако в такой постановке задача сум­мирования погрешностей практически не разрешима уже для не­скольких составляющих, не говоря о нескольких десятках.

Практически приемлемый путь решения данной задачи сумми­рования погрешностей состоит в отказе от определения и использо­вания многомерных функций распределения составляющих погреш­ности. Необходимо подобрать для характеристик составляющих та­кие числовые оценки (СКО, эксцесс и др.), оперируя с которыми можно было бы получить соответствующие числовые оценки ре­зультирующей погрешности. При этом следует учитывать, что:

• отдельные составляющие погрешности могут быть коррелиро- ваны между собой;

• при суммировании случайных величин их законы распреде­ления существенно деформируются, т. е. форма закона суммы мо­жет резко отличаться от формы закона распределения составляю­щих. Наиболее просто задача суммирования решается, если удает­ся организовать измерения так, чтобы погрешность результата полностью определялась систематической погрешностью в виде предельной погрешности СИ.

Этого можно достичь, например, минимизируя случайную по­грешность большим числом измерений, однако это не всегда можно реализовать практически из-за производственного характера изме­рений, большой их продолжительности или стоимости. Поэтому в общем случае следует предполагать наличие как систематической, так и случайной составляющих, и результирующая абсолютная по­грешность будет равна сумме

Av=A_rv + Ai. * (2.48)

где Асх и As — сгруппированные суммы соответственно система­тических и случайных составляющих.

Механизм такого суммирования приведен на рис. 2.19, из кото­рого следует, что систематическая погрешность может суммироваться только с доверительным интервальным значением случайной по­грешности Ai=f_Icr_I, где t_z и ct_z— соответственно коэффициент Стьюдента и СКО суммарной случайной погрешности.

Исходя из положений теории вероятностей, суммирование слу­чайных погрешностей, как случайных величин, производится по- разному в зависимости от степени взаимосвязи составляющих слу­чайной суммарной погрешности. Если взаимосвязь между/-ми со­ставляющими отсутствует, т. е. коэффициент корреляции р = 0, то используется геометрическое суммирование

as = ^а²+а²₂+... + а²_п = £о².

(2.49)

Если эта связь имеется, то считают, что коэффициент корреляции р = ± 1, и используется арифметическое суммирование

* -л _п

= (2.50)

, ■» П=1 J

Коррелированными являются такие погрешности, которые выз­ваны одной общей причиной (изменением температуры, напря­жения в сети, вибрациями, магнитными полями и т. д.).

Коэффициент Стьюдента на уровне доверительной вероятности Р = 0,9 принимают равным t =2.

Если известны доверительные интервалы по каждой составляю­щей суммарной случайной погрешности А,, то

Az=_]jX(A<) ■ (2.51)

При оценке результирующей систематических погрешностей арифметическое их суммирование приводит к существенно завы­шенным результатам, поскольку предполагает проявление этих
погрешностей их максимальными значениями и с одним знаком, что маловероятно. Этот способ оправдан в одном случае — когда важна гарантированная оценка "сверху". Поэтому, считая составля­ющие систематической погрешности взаимонезависимыми, можно пользоваться формулой геометрического суммирования, аналогич­ной (2.49). Учитывая, что систематические погрешности в известной мере определяются случайными причинами, в формулу (2.49) вво­дится поправочный коэффициент К_р, зависимый от доверительной вероятности Р:

АсХ = К_Р %А²_с !=1

или

(2.52)

где К_р выбирается из ряда значений, приведенного в формуле (2.10).

Формула (2.52) систематическую погрешность переводит в раз­ряд случайных, осуществляя рандомизацию систематической состав­ляющей. Сущность рандомизации состоит в следующем. Например, систематическая погрешность СИ изменяется от экземпляра к эк­земпляру, Вся совокупность (партия) СИ данного вида и класса характеризуется функцией плотности, СКО или интервалом, в ко­тором с установленной вероятностью находится систематическая погрешность Д_си СИ. Поэтому при работе с данным СИ в силу отсутствия информации о погрешностях конкретного экземпляра используют распределения погрешностей для всей совокупности, т. е. фактически учитывают систематическую погрешность как слу­чайную.

Это же относится к округлению результата при считывании его, когда информация о величине и знаке погрешности округления тоже неизвестна.

Тогда если, например, систематическая погрешность измерения определяется тремя составляющими: погрешностями СИ, погрешно­стями метода и погрешностями округления результата, то

где <з\_к — СКО погрешности СИ (при известной предельной по­грешности Д_пп СИ определяется как cf- = Д /3); а² — СКО по-

пр си пр окр

грешности округления результата (при известной цене деления С

шкалы СИ определяется как ст_окр = Сы 12); a;,— СКО погрешности

метода измерения.

Практически все а,.<0,3а_тах (гдеа_тах — максимальная величина из всех влияющих) отбрасываются. Это объясняется тем, что исходя из геометрического сложения погрешности (2.49), "вклад" погреш­ности ст, в общий результат быстро падает по мере уменьшения а_г

Если выделены основная и дополнительная погрешности, то результирующая погрешность определяется по формуле (2.52).

Пример 2,12 При измерении электрических параметров уст­ройства установлено, что общая погрешность результата опре­деляется четырьмя составляющими: основной погрешностью СИ 5_си = ± 1 % и дополнительными (от изменения напряжения питания сети 5_с=±0,5%, от изменения температурного режи­ма (5,= ± 0,45% и от влияния (наводок) электрического поля

(8„=±1%). -Jb

Оценить общую погрешность измерения.

Решение. Принимаем Р = 0,9, по формуле (2.52) получим

5_Х = 0,95^1² + 0,5² + 0,45² +1² = 1,49 = 1,5%. В пределах некоторого диапазона изменения, как правило деся­тикратного, измеряемой величины изменение результирующей по­грешности может быть с достаточной степенью точности представ­лено прямой линией или простейшей кривой (парабола, гипербола). Это дает возможность описать результирующую погрешность ли­нейной или нелинейной двухзвенной формулой.

Пример 2.13. Основная допускаемая погрешность измерения сопротивления цифрового микропроцессорного измерителя им- митанса марки Е7-14 при различных диапазонах измерения и доб- ротностях приведена в таблице.

Диапазон измерения	Конечное значение диапазона RK, Ом	Предел допустимого значения основной погрешности, Ом
0,1...1000 мОм		I0-3(l+Q)R+3.10tRk
0,001...10 Ом		I0-3(l+Q)R+2-10-tRk
0,01.„100 Ом		10-3(l+Q)R+210-4Rk
100... 1000 Ом		[ 10-3(1 +Q)R+2-10'^3 R/Rk]R
1...10 кОм		[ 10-з(1 +Q)R+2-10^3 R/Rk]R

При большем изменении измеряемой величины весь диапазон разбивается на участки, для которых и определяются крайние по­грешности.

Для устранения влияния деформации формы законов распреде­ления все суммируемые составляющие исходно представляются сво­ими СКО и все операции расчетного суммирования проводятся толь­ко над ними. Учет взаимных корреляционных связей между сумми­руемыми составляющими производится путем использования различных правил суммирования для жестко и слабо коррелирован­ных составляющих. Эти правила будут рассмотрены далее.

В результате суммирования СКО составляющих получаются средние квадратические отклонения соответственно аддитивной, мультипликативной или нелинейной составляющих результиру­ющей погрешности. СКО аддитивной составляющей результиру­ющей погрешности будет характеризовать результирующую по­грешность в начале диапазона. Сумма СКО аддитивной и мульти­пликативной составляющих в конце диапазона описывает результирующую погрешность в конце диапазона. Если участков несколько, то суммирование проводится на всех участках, а за­тем принимается решение о методе описания результирующей погрешности.

Результирующую погрешность необходимо выразить в виде до­верительного интервала. Его расчет по полученному СКО является с точки зрения теории самой трудной операцией при суммировании погрешностей. Это связано с тем, что доверительный интервал ра­вен произведению рассчитанного СКО и множителя, зависящего от закона распределения результирующей погрешности. В то же время вся излагаемая методика с самого начала была нацелена на то, что­бы обойтись без точного определения результирующего закона рас­пределения суммы всех составляющих.

Практические правила расчетного суммирования результирую­щей погрешности состоят в следующем:

1. Для определения суммарного значения СКО должны учиты­ваться корреляционные связи различных составляющих погрешнос­ти. В связи с этим исходными данными для более точного расчета должны служить оценки именно всех отдельных составляющих по­грешности, а не оценки некоторых суммарных погрешностей.

2. Для каждой составляющей должно быть найдено СКО. В боль­шинстве случаев для этого необходимо знание или предположение о виде закона ее распределения.

3. Все суммируемые погрешности разделяются на аддитивные и мультипликативные составляющие, которые суммируются от­дельно.

4. Так как в большинстве случаев точное значение коэффициен­тов корреляции р найти невозможно, то все погрешности должны быть условно разделены на:

• сильно коррелированные при 0,7<|р|< 1, для которых счита­ют р= ±1 в зависимости от знака коэффициента корреляции;

• слабо коррелированные при 0<|р|<0,7, для которых р = 0.

5. Из суммируемых составляющих выделяются группы сильно коррелированных между собой погрешностей, и внутри этих групп производится алгебраическое суммирование их оценок.

6. После алгебраического суммирования групп сильно корре­лированных погрешностей суммарные по группам и оставшиеся вне групп погрешности можно считать некоррелированными и складывать по правилу геометрического суммирования.

Для определения СКО суммарной погрешности при началь­ном значении измеряемой величины складывают лишь аддитив­ные составляющие, а для определения СКО погрешности в конце диапазона изменения измеряемой величины — все просуммиро­ванные выше составляющие.

7. Для перехода от СКО погрешности к доверительному значе­нию должно быть вынесено суждение о форме закона распределе­ния результирующей погрешности и тем самым выбрано значе­ние квантильного множителя.

Изложенная методика может быть несколько упрощена. Са­мым сложным в ней являются нахождение СКО всех составляю­щих по известным их интервальным оценкам и определение ин­тервальной оценки результирующей погрешности по полученно­му СКО.

В обоих случаях необходимо знание закона распределения по­грешностей. Упрощение методики суммирования состоит в том, чтобы сделать эти переходы по возможности более простыми. Один из вариантов состоит в следующем. Согласно центральной пре­дельной теореме, если число суммируемых независимых составляю­щих достаточно велико (практически при т > 5) и если среди этих составляющих нет существенно преобладающих над остальными, то результирующий закон распределения близок к нормальному. Од­нако предположение о близости закона распределения к нормаль­ному без соответствующего анализа достаточно рискованно даже и при большом числе суммируемых составляющих. Тем не менее при недостатке времени и невысоких требованиях к точности получае­мого результата предположение о нормальности закона распределе­ния результирующей погрешности вполне возможно. В этом случае доверительный интервал Д = z_pS_v где z_p — квантильный множи­тель, определяемый через функцию Лапласа; S_z — суммарное СКО или его оценка.

Такой прием существенно снижает трудоемкость расчетов, но может вносить весьма значительные ошибки, если реальное рас­пределение сильно отличается от нормального закона. Например, при фактическом арксинусоидальном распределении ошибка мо­жет достигать 180% [12]. Поэтому использовать его надо весьма осторожно.

В качестве другого пути упрощения перехода от СКО резуль­тирующей погрешности к ее интервальной оценке следует указать возможность использования доверительной вероятности Р_д = 0,9, при которой для большой группы различных распределений име­ет место соотношение

Д=1,65_г (2.53)

Действительно, как показано в [28], для широкого класса сим­метричных, высокоэнтропийных (к > 1,7) распределений, а имен­но для равномерного, треугольного, трапецеидального, нормаль­ного, экспоненциального с показателем степени а > 2/3, двухмо- дальных с глубиной антимодальности менее 1,5, интегральные кривые F(x) в области 0,05 и 0,95 квантилей пересекаются между собой в очень узком интервале значений X/S- 1,6 ± 0,05. Поэтому с погрешностью 0,055 можно считать, что квантили 0,05 и 0,95 для любых из этих распределений могут быть найдены как Х_{0 05} = Х_и - 1,65 и Х_{0 95} = Х_ц + 1,6S, где Х_и — координата центра распределения;

его СКО. Отсюда следует, что значение доверительного интер­вала, найденное по формуле (2.53), для любого из названных рас­пределений является интервалом с 90%-ной доверительной вероят­ностью.

При Р_д > 0,9 интегральные кривые для разных законов распре­деления резко расходятся между собой. В этом случае для нахожде­ния доверительного интервала Д= г^в [28] предложено вместо большого числа таблиц квантилей разнообразных распределений найти для близких классов распределений аппроксимирующие выражения z_p =f{e,P), где е — эксцесс распределения.

Динамические погрешности являются дополнительными и обыч­но не суммируются с остальными, а просто ограничивают частот­ный диапазон предельной величины указанием соответствующего рабочего диапазона частот.

Изложенное выше позволяет дать некоторые практические реко­мендации, которые можно использовать при проведении измерений.

1. Во всех случаях расчетов считается, что погрешности изме­рения по абсолютной величине существенно меньше измеряемой величины.

2. При суммировании случайных погрешностей промежуточ­ные значения коэффициента корреляции от 0 до 1 практически не учитываются, принимая либо наличие жесткой связи при р>0,7, либо ее полное отсутствие при р<0,7.

3. Случайные погрешности характеризуются следующими ак­сиомами:

а) малые по величине случайные погрешности встречаются чаще, чем большие;

б) отрицательные и положительные погрешности, равные по величине, встречаются одинаково часто;

в) для каждого метода изготовления изделия есть свой пре­дел, за которым погрешности практически не встречаются.

Оценить случайные погрешности средним арифметическим, вследствие аксиомы "б", не представляется возможным, так как она стремится к нулю при увеличении числа погрешностей. По­этому случайные погрешности оценивают через СКО а или пре­дельной погрешностью (Д_пр= i^oj.

4. Погрешность несоответствия математической модели реальному объекту измерения не должна превышать 10% заданной погрешности измерения. Поскольку погрешность результата определяется составля­ющей, имеющей наибольшую погрешность Д_тах, стремление умень­шить другие составляющие практически не имеет смысла. Следует стре­миться уменьшить прежде всего Д_тах. Например, погрешность косвен­ного измерения, как правило, в 3—4 раза выше погрешности СИ. В этих условиях улучшение метрологических характеристик СИ не дает заметного снижения результирующей погрешности измерения нуж­но изменить, например, методику измерений. Это обстоятельство час­тично объясняет наличие большого количества нестандартизованных СИ, когда при их применении стараются от косвенных методов изме­рения перейти к прямым.

5. Нестабильность измеряемого параметра в течение времени из­мерения не должна превышать 10% заданной погрешности из­мерений. Строго говоря, измерять можно только постоянные ве­личины. Если говорят об измерении переменных величин, то под этим понимают либо измерение постоянных параметров этих вели­чин, либо их измерения в фиксированные моменты времени.

6. Для устранения влияния деформации законов распределения предпочтительным является суммирование составляющих через СКО.

7. Точность обработки числового материала должна быть согла­сована с точностью измерений. Вычисления с большим количе­ством десятичных знаков дают лишь ложное представление о повы­шении точности, требуя больших затрат времени. При округлении результата используют правила математики.

Следует пользоваться основным правилом: погрешность, по­лучающаяся в результате вычислений, должна быть на порядок (в 10 раз) меньше суммарной погрешности измерений.

8. В зависимости от условий измерения, свойств объекта, оснас­тки, алгоритмов обработки информации погрешности измерения одного и того же параметра с помощью одних и тех же СИ могут отличаться в несколько раз. В целом погрешности технических изме­рений определяются инструментальными и методическими состав­ляющими. Доля методической составляющей для различных видов измерений колеблется от 5 до 80%. При динамических измерениях этот разброс еще выше.

9. Все виды погрешностей измерений целесообразно свести в две группы:

I. Методические, независящие от СИ (погрешности косвенного измерения; погрешности передачи размера из-за неправильного под­ключения (установки) СИ к объекту; погрешности из-за ограни­ченного числа точек измерений, например, при измерении полей; погрешности вычислительных операций).

II. Инструментальные, связанные с СИ (погрешности самих СИ; погрешности из-за взаимодействия СИ с объектом; погреш­ности из-за ограниченной разрешающей способности СИ).

При проведении измерений, как правило, известна лишь по­грешность СИ. Поэтому выделение указанных двух групп позво­ляет:

оценить потенциальные возможности выбранного метода, вы­деляя основные методические составляющие из I группы;

определить ограничивающие факторы по I и II группам и при необходимости повысить точность измерений, принять решение об усовершенствовании методики или выборе более точного СИ;

оценить, какая часть погрешностей может увеличиваться со временем и при изменении внешних факторов, т. е. какая часть погрешностей и когда требует периодической аттестации;

рассчитать инструментальную составляющую до полной разра­ботки методик выполнения измерений;

оценить все погрешности по группам I и II, а затем суммировать их по вышеприведенным правилам.

Контрольные вопросы ^

1. Сформулируйте основные постулаты метрологии.

2. Назовите основные виды измерений.

3. Назовите основные методы измерений.

4. Охарактеризуйте основные виды погрешностей измерений.

5. Какими методами корректируют (уточняют) результаты из­мерений?

6. Что такое качество измерений?

7. Дайте характеристику принципа обработки результатов раз­личных видов измерений.

8. Что такое динамические измерения и их погрешности?

9. На чем основана теория расчетного суммирования погреш­ностей?

10. Расшифруйте понятия коррелированных и некоррелирован­ных случайных величин. Что считается границей между этими слу­чайными величинами при их суммировании?

11. Как суммируются случайные и систематические погрешности?

ГЛАВА 3. НОРМИРОВАНИЕ МЕТРОЛОГИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ

Дата добавления: 2015-04-30