Динамические измерения и динамические погрешности 1 страница

V

Методы обработки результатов измерений

2.9.1. Многократные прямые равноточные измерения

Последовательность обработки результатов измерений вклю­чает следующие этапы:

• исправляют результаты наблюдений исключением (если это возможно) систематической погрешности;

• вычисляют среднее арифметическое значение х по формуле (2.1);

• вычисляют выборочное СКО су- от значения погрешности

измерений по формуле (2.2);

• исключают промахи; *

• определяют закон распределения случайной составляющей;

• при заданном значении доверительной вероятности Р и чис­ле измерений п по таблицам определяют коэффициент Стьюдента

• находят границы доверительного интервала для случайной погрешности Д=±/ а- '>

р.v о

• если величина А сравнима с абсолютным значением погреш­ности СИ, то величину А считают неисключенной системати­
ческой составляющей и в качестве доверительного интервала вы­числяют величину, ■•'

t (oo) -!——-А

1,96

= л (а)² +

д₂=, (Д)² +

Если в результате измерительного эксперимента можно четко выделить составляющие 0 НСП, то A_z определяется по ГОСТ 8.207-76

"> 0- о

V

1=1 з

или, по упрощенной формуле: Д₂ =^о|+0² (по данным [42], погрешность такой замены не превышает 5,..., 10%);

• окончательный результат записывают в виде х = х ± Л_х при вероятности Р.

2.9.2. Неравноточные измерения

При планировании измерительных операций и обработке их ре­зультатов зачастую приходится пользоваться неравноточными из­мерениями (т. е. измерениями одной и той же физической величи­ны, выполненными с различной точностью, разными приборами, в различных условиях, различными исследователями и т. д.).

Для оценки наиболее вероятного значения величины по дан­ным неравноточных измерений вводят понятие "веса " измерения:

Si = ⁿJ of.

где п. и of — объем и дисперсия /-й серии равноточных измере­ний.

^Xl^iX2~"^Xm(-

Тогда, если неравноточные измерения привели к результатам

среднеарифметическое ряда равноточных изме­

рений; j < т), то наиболее вероятным значением величины будет ее средневзвешенное значение:

Вероятность а того, что х_и лежит в пределах равноточных изме­рений (х_и ± Ах_и), определяется вышеприведенным методом для рав­ноточных измерений.

2.9.3. Однократные измерения

Прямые статистические измерения в большей мере относятся к лабораторным (исследовательским), например при разработке и ат­тестации методики, когда погрешность измерений выявляется в процессе проведения и обработки экспериментальных данных.

Для производственник процессов более характерны однократные технические прямые или косвенные измерения. Здесь процедура из­мерений регламентируется заранее, с тем чтобы при известной точ­ности СИ и условиях измерения погрешность не превзошла опреде­ленное значение, т. е. значения Д и Р заданы априори. Поскольку измерения выполняются без повторных наблюдений, то нельзя от­делить случайную от систематической составляющей. Поэтому для оценки погрешности дают лишь ее границы с учетом возможных влияющих величин. Последние лишь оценивают своими границами, но не измеряют. На практике дополнительные погрешности, как правило, не учитываются, так как измерения осуществляют в ос­новном в нормальных условиях, а субъективные погрешности так­же весьма малы.

В принципе, однократные измерения достаточны, если неиск- люченная систематическая погрешность (например, класс точно­сти СИ) заведомо больше случайной. Практически это достигает­ся при Д = (0,50,...,0,25)Д_с. Тогда результат измерения записывают в виде

х = х_с± Д^при вероятности Р= 0,95,

где х_си — результат, зафиксированный СИ; Д_£ =tJA²_c„ + Д²_мет —

суммарная погрешность измерения, определяемая классом точ­ности СИ (Д_си) и методической погрешностью (Д_мет).

— L —

Ун

	**
~ г

W 0.9 Ofi V Ofi 0,4

tfi ОД 0,5

ю is л Рис. 2.12. Взаимосвязь у (и) с 0/о_х и и

в зависимости от 9/о_х и числа измерений приведено на рис. 2.12, из графиков которого следует: • при 0/с^ > 8 отношение у= const и практически не зависит от ^п> т. е. в этих условиях нет смысла в многократных измерениях, случайная составляющая пренебрежительно мала и определяю­щей является неисключенная систематическая составляющая;

Для уточненной оценки возможности применения однократ­ных измерений следует сопоставить суммарные погрешности, по­лучаемые при этом, с суммарными погрешностями многократ­ных измерений при наличии случайной Д и неисключенной си- стематической составляющих. Учитывая, что a_z= Ja?+<7д и ст_д = 20/л/з при многократных измерениях суммарное СКО резуль­тата

а при однократных

ст_т =KJa +

Изменение отношения

• при 0/ст_х < 0,8 функцияу(п) явно зависит от п, т. е. здесь суще­ственную роль играет случайная составляющая, неисключенная си­стематическая составляющая пренебрежительно мала и однократ­ные измерения недопустимы;

• при 0,8 < 0/а_х < 8 должны учитываться и случайная, и неиск­люченная систематическая составляющие.

В последнем случае композицию этих составляющих и погреш­ность результатов измерения находят по эмпирической формуле

A(P) = t_sa_z, (2.14)

v

_ Q(P) + А(РУ

где h ~ +0/V3 ~ коэффициент, соответствующийq-му уров­ню значимости данной композиции; g_s = -Jg² + 6/3 — СКО ком­позиций; в(Р) и Д (Р) — соответственно неисключенная система­тическая составляющая и доверительная граница случайной погреш­ности при заданной доверительной вероятности Р.

Д {Р) = К₁

(2.15)

Q(P) + A(P)

Коэффициент К_р находят в зависимости от доверительной ве­роятности Р, принимаемой на уровне 0,95 или 0,99, следующим образом:

в/а- X	0,8	]						?
Ко.95	0,76	0,74	0,71	0,73	0,76	0,78	0,79	0,80	0,81
Ко.Ю	0,84	0,82	0,80	0,81	0,82	0,83	0,83	0,94	0,85

Практически, если одна из составляющих А_с или А менее 5% общей погрешности, то этой составляющей можно пренебречь.

Алгоритм действий, например, при разработке и аттестации методик выполнения измерений с однократными измерениями заключается в следующем:

Вычисление погрешности Д(Р) по формуле (2.14) дает по­грешность не более 12%, но достаточно сложным способом. По­этому можно пользоваться упрощенной формулой

1. Предварительно устанавливают необходимую допускаемую погрешность A_g измерения.

2. Для самой неблагоприятной функции распределения — нор­мальной в соответствии с ГОСТ 8.207—76 находят Д_с, А -2а _х и принимают Р = 0,95.

3. Находят значение погрешности А = 0,85(А + А_с) и сравнивают его с А. Если

A<0,8A_S, (2.16)

то однократные наблюдения возможны с погрешностью до 20%. Если 0,8A_g<A<[A], то полученное значение следует уточнить с уче­том А_с и аПри А_с/ст_х< 0,43 или AJa> 7 значение погрешности А

определяют по формуле А = 0,9(А +АД. Если

А <0,89А^, (2.17)

то однократные измерения возможны с погрешностью не более 11%.

А^

В случае 0,43< _а <7 вычисляют А = 0,75(д + Д_с), и если

А <0,93 A (2.18)

то однократные измерения возможны с погрешностью не более 7%.

Если соотношения (2.17) и (2.18) не соблюдаются, то опре­деляют "весомость " составляющих погрешности. При превалиру­ющей случайной составляющей А >Д_с необходимо перейти к мно­гократным измерениям. При А <Д_с нужно уменьшить методичес­кую или инструментальную составляющие (например, выбором более точного СИ).

Практически при однократных измерениях, чтобы избежать промахов, делают 2—3 измерения и за результат принимают сред­нее значение. Предельная погрешность однократных измерений в основном определяется классом точности Д_си СИ. При этом, как правило, систематическая составляющая не превосходит

\ ^0,ЗА_си, а случайная Д_с<0,4Д_СЙ, поэтому, учитывая, что

Д_1ом = ± (Д_с + А), погрешность результата однократного измерения можно принять равной А_изм= 0,7Д_си.

Поскольку Д_изм<Зо_л (о_х—СКО параметра), то реально погреш­ность однократного измерения с вероятностью 0,90—0,95 не пре­взойдет (2—2,5)а_х.

Пример 2.7. Оценить погрешность результата однократного из­мерения напряжения (7= 0,9 В на входном сопротивлении R- 4 Ом, выполненного вольтметром класса точности 0,5 с верхним пределе::; диапазона измерений £/=1,5 В и имеющим сопротивление R_v=l000 Ом. Известно, что дополнительные погрешности показаний СИ из- за влияния магнитного поля и температуры не превышают соот­ветственно §_ип = ± 0,75% и 5_Т = ±0,3% допускаемой предельной, погрешности.

Ry

Mr

R

U_x

Рис. 2.13. Схема измерения напряжения

Решение. I. Предел допускаемой относительной погрешно­сти вольтметра на отметке 0,9 В составляет

5 =5 ^ = о,5— = 0,83%. * ^с" U 0,9

2. При подсоединении вольтметра исходное напряжение U_x (рис. 2.13) изменится из-за наличия R_r и составит

Тогда методическая погрешность, обусловленная конечным значением R, в относительной форме составит

3. Данная методическая погрешность является систематичес­кой составляющей погрешностью измерения и должна быть вне­сена в результат в виде поправки q = — 8_м=0,4% или в абсолютной форме на отметке 0,9 В

V

q_a = —— = 0,9 • 0,4 • 10 = 0,004 В.

" 100

Тогда результат измерения с учетом поправки будет равен

х =0,900 + 0,004 =0,904 В.

4. Поскольку основная и дополнительные погрешности заданы своими граничными значениями, то они могут рассматриваться как неисключенные систематические. По формуле (2.10) при до­верительной вероятности Р = 0,95 доверительная граница неиск- люченной систематической составляющей будет

8_r = l,lVo,83² + 0,75² + 0,3² = 1,1 • 1,16 = ±1,3%, а в абсолютной форме

с г/

= ±1,3-0,9-10~² =±0,012 В.

5. Ввиду того что Д > q, окончательный результат измерения записывается в виде

х = 0,90 В; А = ±0,01 В; Р = 0,95.

2.9.4. Косвенные измерения

Косвенные измерения предполагают наличие функциональной связи

У=Лх₁,х₂,...,х), (2.19)

где х_р х₂,...,х_я — подлежащие прямым измерениям аргументы функции Y.

Очевидно, погрешность в оценке У зависит от погрешностей при измерениях аргументов. При этом могут иметь место два слу­чая: аргументы взаимонезависимы и взаимозависимы.

Для независимых аргументов абсолютная погрешность

л²

^гм^л2

J L Эх,

м. Эх,

Ac,² +

A Y =

Ах; +...+

относительная

рш Л	Ах,^2	+	ГэшЛ	г Дх| +.		Гд1пЛ
{ 4*1 J		Эх, V ^1			1 <**» J

AY

где частные производные df/dx_v df/dx₂... вычисляются при х,= х₂,

х = х_г.., а величины Ах_р Ах₂,... определяют, например, с помощью коэффициентов Стьюдента для одного и того же значения довери­тельной вероятности.

(2.20)

При вводе b = dY/dx_i — абсолютного коэффициента влияния аргумента х в функцию Yее абсолютная погрешность составит

A Y = yltfAx? +hlAx²₂+... + h;Ax;.

Тогда относительная погрешность определяется как

<*Y=Ji(W> (2-21)

dY х,

где В. = ' у относительный коэффициент влияния.

Если в качестве меры точности измерений выступает СКО, то

8y = _]fl(b_i(y_i)². (2.22)

Если аналитические функциональные связи вида (2.19) не ус­тановлены, то при разработке методики выполнения измерений можно использовать опытные значения Ь, и В,.

— AY х-

b^AY/Ax, или (2.23)

5 =

где ДУ — изменение функции, вызванное изменением А_х. /-го аргумента; Y и х, — средние (расчетные или номинальные) значе-
• ния функции и аргумента. Окончательный результат записывают в

виде Y= Y ± ДКпри вероятности Р.

В качестве практических рекомендаций можно использовать сле­дующие положения;

• если коэффициенты влияния менее 0,001 (0,1%), то эти па­раметры можно не учитывать;

• для коэффициентов влияния в пределах 0,001...0,050 (0,1... 5%) требования к точности их измерения невелики (2...5%);

• если коэффициенты влияния больше 0,05 (5%), то требования к точности информации повышаются до 1 % и выше.

В случае взаимной зависимости аргументов находят парные коэффициенты корреляции

' P_Vk=^M-------------------;----- •..■■ (2.24)

ПО_г „

Значения р лежат в пределах -1 < р < +1. При р = 0 — величи­ны взаимонезависимы. Однако если р = 0, следует проверить зна­чимость этой величины. Для этого используют t — критерий

t = (l-p²)/^. (2.25)

Если расчетное по формуле (2.25) значение 31 < р, то взаимо­связь между параметрами необходимо учитывать. Практически, если р < 0,20,...,0,25, то корреляционную связь считают несуществен­ной.

При наличии взаимосвязей между х. и х с учетом уравнений (2.20)—(2.23)

"/ ч²

°Y = л/2m) + ст,,, (2.26)

где / =1, 2,..., /,..., к,..., п.

D —- z,xy

При числе взаимозависимых аргументов больше двух тесноту связи оценивают частным или множественным коэффициентом корреляции, в основе вычисления которого лежат значения пар­ных коэффициентов корреляции. Например, для трех аргументов ^х> yuz

P}y⁺Pyz ~²PxzPyzPxy

1-Р²

Коэффициент R всегда положителен и заключен между 0 и 1. Если, например, величина z находится в зависимости отхи^ как z = ах + by + с, то влияние величины х на изменение z оценивают частным коэффициентом корреляции >

p_y(z,x)=

Аналогично определяется р_х (z, у). Частные коэффициенты кор­реляции обладают теми же свойствами, что и коэффициенты ли­нейной корреляции.

Алгоритм обработки результатов косвенных измерений включа­ет следующие этапы:

1. Для результатов прямых измерений аргументов х вычисляют - 1 «i

выборочные средние х = — к ^и выборочные стандартные откло-

П; jfc=l '

нения

о,, = I / _a£(*U-*J

i=l

2. Для каждого аргумента вычисляют суммарные систематичес­кие погрешности в виде СКО:

= ^+асуб, ^+СГокр₍ +•••'

где ст^, сг_окр характеризуют разброс результатов из-за субъективных причин, округления и т.п.

3. Находят выборочное среднее функции по m аргументам с уче­том коэффициентов влияния

m — i=I

4. Вычисляют стандартные отклонения случайных и системати­ческих составляющих функции

• = -у £ y > ^студ ⁼ т •

5. Сравнивают и <х:

-pyzPxy

а) если со «сг_?д, _то результат записывают в виде Y - Y+Д_с при вероятности Р. Здесь, задавшись вероятностью Р, полуинтервал

Д_с находят с помощью коэффициентов Чебышева по формуле (2.13)

б) если»<Тр_д, то результат записывают как Y= Y, при Р = аис_„;

в) если = _и а- сравнимы, то результат представляют в виде

уд ^а

Доверительные границы результатов косвенных измерений мож­но оценить и по формулам, аналогичным (2.14) и (2.15), предвари­тельно оценив неисключенную составляющую систематической по­грешности косвенного измерения как по каждому аргументу, так и в целом функции.

Представление относительной погрешности сложной функции (2.19) в виде

8=~ = ±41ПУ]

дает возможность вычислить погрешность функции по известным погрешностям аргументов (прямая задача); оценить допустимые по­грешности аргументов, при которых общая погрешность не превы­сит заданной величины (обратная задача); оптимизировать условия измерений, обоснованно минимизируя суммарную погрешность, заранее установив требования к точности измерения, подобрать со­ответствующую аппаратуру.

Пример 2.8. Рассмотрим факторы, влияющие на погрешность определения удельного эффективного расхода топлива g_e, кото­рый может быть представлен в виде функции величин, измеряе- • ^f мых прямым методом

_ge=l 16,2

К ^Ме^Пг^Т

где G их— доза топлива и время ее расхода; и_т — постоянная частота вращения двигателя за время т„ ее измерения; М — крутя­щий момент на валу двигателя. Решение. Погрешность определяется по формуле:

&g_e = ±d(ln 716,2 + In G + 1пт_п + lnA/_e +lnn_T +1пт = ЭГ. =±(5G + Sr„+8M_e +&г_т + 5г).

В соответствии с нормативами величина g_e должна быть изме­рена с точностью до 1 %. Если принять, что каждый из аргументов одинаково влияет на общую погрешность, то

5G = 5x_n = 5М_е = 8n_z = 5т = ± — = ±0,2%.

Однако известные методы не позволяют измерить М_е с точнос­тью выше ±0,5%, G — +0,2%. В то же время частоту вращения м временные интервалы имеется возможность измерять более точно — с относительной погрешностью не хуже +0,1%. Таким образом, суммарная погрешность при использовании существующих средств измерения составит ± (0,5+0,2+0,1+0,1+0,1) =± 1%, что удовлетво­ряет требованиям ГОСТа.

Приведенный пример показывает, что для повышения точности косвенных измерений прежде всего нужно стремиться снизить наи­большие погрешности отдельных аргументов.

Традиционный подход к решению основной задачи косвенных измерений (нахождению оценки результатов Y косвенного измере­ния и его погрешности) состоит в следующем:

• предполагают достаточную гладкость функции (2.19);

• разлагают эту функцию в ряд Тейлора в окрестности аргумен­тах,.;

• исследуют значимость отбрасываемого остаточного члена ряда Тейлора, предполагая незначительность погрешностей оценок аргу­мента.

При этом необходимы сведения (реальные или принимаемые за реальные) о законе распределения погрешностей аргумента.

Для технических измерений предложен более простой и не ме­нее точный подход, основанный на методе математического про­граммирования, сводящий аналитическую задачу к вычислитель­ной [13]. При этом в информации о законе распределения аргумента

нет необходимости. В качестве оценки Y принимается полусумма максимального и минимального значений функции Y, а оценки абсолютной погрешности — полуразность этих значений:

(2.27)

Тогда относительная погрешность

Y,

(2.28)

Y,

5 ₌ ^Гтах ~ 100%. у v v

+ Y •

шах mill

Пример 2.9. Измерение мощности Р в активной нагрузке со­противлением R = 100 Ом +5 Ом определяется с помощью вольт­метра класса точности у = 1,5 с пределом измерения £/= 300 В. Оценить измеренную мощность и погрешность, если прибор по­казал £/=240 В.

Решение1. Предел абсолютной погрешности вольтметра со­ставляет

А [/ = [/_гу = 300 -1,5 • 10"² = 4,5В.

2. Относительная погрешность £/ и R составит

ДУ 4 5

5,, = — -100% = —-100 = 1,9%; ^u U_n 240

др е

8»= —-100%= —-100=5%. * R 100

3. Из уравнения косвенного измерения Р= U²/R находим

max _R g₅

"■mm ^JJ

^А ₌ (240-4,5)²_=528Вт ■ 105

4. По формулам (2.27), (2.28) находим оценки

~Р = (629 + 528)/ 2 = 579 Вт;

ДР = (624 - 528)/ 2 = 51 Вт;

5Р = 51/579 = 8,8 %.

Надо отметить, что определение коэффициентов влияния при косвенных измерениях — задача весьма ответственная и трудоемкая. Необходимость оценки этих коэффициентов пока не нашла долж­ного понимания, хотя знание их не только позволяет целенаправ­ленно вести работу при оптимизации производственных процессов, но и при техническом обслуживании и ремонте, выборе соответ­ствующих средств и методов измерения. Зачастую это формирует и требования к режимам эксплуатации ТС. < _v,

2.9.5. Совместные и совокупные измерения

Одновременные измерения двух или нескольких величин назы­ваются совместными, если уравнения измерения для этих величин образуют систему линейных независимых уравнений. Например, для Двух измеряемых величин х и у:

f_x(x_v у; аД;...; a_vb_Y\...) = 0; f₂(x, у; а₂,р₂;...; ft,;...) = О, где а,,р,;...; а₂,Р₂;... — результаты прямых или косвенных измере­ний; а,,Р,;...;а₂,Р₂;... — физические константы или постоянные СИ.

Если число уравнений превышает число неизвестных, то полу­ченную систему решают методом наименьших квадратов (МНК) и находят оценки х и у и их СКО. Доверительные интервалы для истинных значений хи у строят на основе распределения Стьюдента. При нормальном распределении погрешностей МНК приводит к наиболее вероятным оценкам, удовлетворяющим принципу макси­мума правдоподобия.

Совокупные измерения отличаются от совместных только тем, что при совокупных измерениях одновременно измеряют несколько одноименных величин, а при совместных — разноименных. Матема­тический аппарат у этих видов измерений один. Учитывая характер измеряемых величин, совместные измерения можно рассматривать как обобщение косвенных, а совокупные — как обобщение прямых измерений.

2.10.1. Характеристики динамических измерений

Измерение называют динамическим (в динамическом режи­ме), если нельзя пренебречь изменением величины во времени. Например, измерение мгновенного значения переменного тока или напряжения. С другой стороны, СИ, как правило, обладают инер­ционностью и не могут мгновенно реагировать на изменение вход­ного сигнала. Поэтому при измерении изменяющегося во времени сигнала x(t) всегда возникает составляющая погрешности, обус­ловленная инерционными (динамическими) свойствами СИ.

Эти свойства выражают с помощью динамических характе­ристик, однозначно устанавливающих отклик СИ на изменение входного воздействия. В качестве таких характеристик использу­ют передаточную функцию; комплексный коэффициент пере­дачи — амплитудно-частотную характеристику (АЧХ); комплекс­ную чувствительность — фазочастотную характеристику (ФЧХ); переходную функцию — реакцию на единичный скачок; им­пульсную (весовую) функцию — реакцию на единичный им­пульс [10; 30; 55].

Указанные характеристики взаимосвязаны, и по одной из них можно найти все остальные. Методы их экспериментального опре­деления также широко освещены в литературе по автоматическому регулированию.

При решении задач динамических измерений необходимо по­добрать аналитические выражения для аппроксимации найденных или заданных динамических характеристик; найти аналитические выражения (с помощью специальных функций; полигонов, рядов и др.) для входных и выходных сигналов; определить собственно динамические погрешности; найти входной сигнал (например, со­стояния ТС) по зафиксированному выходному — восстановление сигнала.

В общем случае динамическая погрешность в передаче сигнала x(t), являющегося функцией времени, определяется разностью между действительным выходным сигналом y{t) в динамическом режиме и выходным сигналом у_а = Sx(t) в статическом режиме при отсутствии инерционных свойств. СИ, т. е.

V. = У(() - Sx(t) = y(t) - _Уаг, (2.29).

где S— чувствительность СИ.

Динамической погрешностью является не только погрешность, оцениваемая по формуле (2.29), но, например, и погрешность при идеальной передаче формы сигнала, сдвинутого во времени по фазе на т-фазовую динамическую погрешность: Д = y(t + т) - у.

дин ^{J х} ' ^J сг

Динамические погрешности могут быть определены только расчетно-экспериментальным путем. Эталонов и образцовых СИ в области динамических измерений нет.

Дата добавления: 2015-04-30