Типовые задачи с решениями. 3.1 Время восстановления элемента пренебрежимо мало

3.1 Время восстановления элемента пренебрежимо мало.

Примем далее, что поток отказов элемента является простейшим потоком, т.е. потоком Пуассона. Вероятность того,что за время t произойдет ровно к отказов, в этом случае определяется как

(3.1)

Вероятность того, что за время t число отказов превысит n,будет

P . (3.2)

При достаточно большом значении n ряд, входящий в (3.2), может быть при использовании центральной предельной теоремы Ляпунова просуммирован:

P , (3.3)

где - функция Лапласа,

- математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение времени наступления n-го отказа (Т_n.).

3.1.1 Элемент эксплуатируется с заменами при пренебрежимо малом времени его восстановления. Какое число запасных элементов необходимо иметь, чтобы их хватило на эксплуатацию в течение года с вероятностями 0.90, 0.95 и 0.99? Интенсивность потока отказов элемента l = 5 1/год.

Решение. Применим для решения асимптотическое выражение (3.3).Для надежной эксплуатации элемента необходимо, чтобы число запасных элементов n отвечало бы условию где Р = 0.90;0.95 и 0.99. Следовательно

и .

Из последнего выражения получаем n»9,»11 и» 14 при Р=0.90; 0.95 и 0.99, соответственно.

3.1.2 Элемент эксплуатируется с заменами при пренебрежимо малом времени его восстановления.Какова должна быть интенсивность отказа единичного элемента, чтобы при его эксплуатации в течение года потребовалось бы с вероятностью не менее 0.95 не более трех замен?

Решение. В рассматриваемой задаче из-за малого значения n нельзя воспользоваться асимптотическим выражением (3.3). Поэтому согласно (3.2) будем иметь:

(3.4)

Или при t=1год и при замене знака неравенства знаком равенства выражение (3.4) запишется в виде

(3.5)

Решая трансцендентное уравнение (3.5) каким-либо численным методом, получим l= 1.36 1/год.

Дата добавления: 2015-04-30