Время восстановления элемента соизмеримо со временем его эксплуатации до отказа

Одной из основных характеристик этого процесса является коэффициент готовности К_Г(t), т.е. вероятность того, что в момент времени t элемент находится в исправном состоянии. В случае, если потоки отказов и восстановлений являются потоками Пуассона и рассматривается стационарный режим эксплуатации

К_Г= , (3.6)

где l и m - интенсивности потоков отказов и восстановлений элемента.

Вводится также понятие наработки на отказ Т_t в течение времени эксплуатации элемента t. При Пуассоновских потоках отказов и восстановлений закон распределения суммарной наработки на отказ асимтотически нормален, причем М[T_t]=K_Гt = , D[T_t] =

Можно оценить доверительный интервал для времени наработки на отказ при некоторой доверительной вероятности Р_д:

Р_д= Р(t₁£T_t£t₂)= F₀ (3.7)

3.2.1. Элемент эксплуатируется с заменами при конечном времени его восстановления. Интенсивности потоков отказов и восстановлений составляют l= 0.5 1/час и m= 0.2 1/час.Математическое ожидание времени наработки на отказ за время t составляет М[T_t]=600 часов.Определить вероятность того, что время наработки на отказ будет находиться в диапазоне 550...650 часов.

Решение. Суммарное время эксплуатации элемента определится как

t=M[T_t]´(l+m)/l=600´0.7/0.2=2100 часов.

Следовательно, дисперсия времени наработки на отказ будет

D[T_t]= час² и s[T_t]=35 часов.

Вероятность того,что время наработки на отказ будет находиться в диапазоне 550...650 часов,определится как

P_д= =0.8468.

3.2.2. Элемент эксплуатируется с заменами при конечном времени его восстановления. Интенсивность потока его отказов l=2 1/час, К_Г=0.4. Определить суммарное время эксплуатации элемента t, если доверительный интервал для времени наработки на отказ при Р_д=0.90 составляет 250 часов?

Решение. По заданным коэффициенте готовности К_Г и интенсивности потока отказов l определим интенсивность потока восстановлений m:

0.4= , откуда m=1.33(3).

При нормальном законе распределения =2F₀(k).

Cледовательно, при Р_д=0.9 F₀(к)=0.45 и к=1.645. По заданию 1.645s=125 часов, s[T_t]=76 часов и D[T_t]=5776 час². Суммарное время эксплуатации элемента определится из выражения

5776= . Отсюда t=40111часов.

Математическое ожидание времени наработки на отказ составит

M[T_t]=K_Г´t=0.4´40111=16044 часа.

Задачи для самостоятельного решения по разделу 3

Задание 3

Задача 1. Варианты 1 и 2. Элемент эксплуатируется с заменами при пренебрежимо малом времени его восстановления. Интенсивность потока отказов l=5 1/год. Сколько должно быть запасных элементов (n), чтобы с вероятностью не менее Р элемент эксплуатировался бы в течение t лет?

Номер варианта	Р	t, года
	0.90, 0.95, 0.99
	0.90, 0.95, 0.99

Варианты 3...6. Элемент эксплуатируется с заменами при пренебрежимо малом времени его восстановления. Интенсивность потока отказов -l. Определить время, при котором с вероятностью Р произойдет не более n замен.

Номер варианта	l, 1/год	Р	n
	0.5	0.95
		0.90
		0.95
		0.90

Варианты 7...12. Элемент эксплуатируется с заменами при пренебрежимо малом времени его восстановления. Какова должна быть интенсивность потока отказов элемента в год, чтобы при его эксплуатации в течение времени t потребовалось бы с вероятностью не менее Р не более n замен?

Номер варианта	t, года	Р	n
		0.90
		0.95
		0.95
		0.90
		0.95
		0.90

Варианты 13...15. Элемент эксплуатируется с заменами при пренебрежимо малом времени его восстановления. Имеется n запасных элементов с интенсивностью потока отказов l. Какова вероятность, что этих элементов достаточно для эксплуатации в течение t лет?

Номер варианта	n	l, 1/год	t, года
		0.5	2.5

Задача 2. Варианты 1...6. Элемент эксплуатируется с заменами при конечном времени его восстановления. Заданы: интенсивности потоков отказов (l) и восстановлений (m), математическое ожидание времени наработки на отказ M[T_t]. Определить вероятность Р_д попадания T_t некоторый диапазон T_t.

Номер варианта	l, 1/час	m, 1/час	M[Tt], час	Tt, час
	0.2	0.3		550...650
				800...830
	0.3	0.1		300...600
	0.5	0.8		M[Tt]
	0.3	0.2		M[Tt]
	0.2	0.3		M[Tt]

Варианты 7 и 8. Элемент эксплуатируется с заменами при конечном времени его восстановления. Заданы: суммарное время его эксплуатации t, интенсивности потоков отказов(l) и восстановлений (m). Определить вероятность того, что время наработки на отказ (T_t) окажется в диапазоне

T_t часов.

Номер варианта	l, 1/час	m, 1/час	t, час	Tt, час
	0.1	0.2		2000...2800
	0.2	0.3		500... 700

Варианты 9 и 10. Элемент эксплуатируется с заменами при конечном времени его восстановления. Заданы: суммарное время его эксплуатации t, интенсивности потоков отказов (l) и восстановлений (m). Определить интервал времени наработки на отказ M[T_t] , отвечающий доверительной вероятности Р_д.

Номер варианта	l, 1/час	m, 1/час	t, 1/ час	Рд
	0.2	0.3		0.95
	0.1	0.2		0.90

В варианте 11 при заданных коэффициенте готовности К_Г=1/3, интенсивности потока отказов l= 1 1/час и доверительном интервале для времени наработки на отказ = 200 часов при Р_д=0.95 определить суммарное время эксплуатации элемента t.

В варианте 12 при заданных интенсивностях потоков l=0.2 1/час, m=0.3 1/час и дисперсии времени наработки на отказ D[T_t]=960 час² определить суммарное время эксплуатации элемента t и диапазон времени наработки на отказ T_t (вокруг M[T_t]), отвечающий доверительной вероятности Р_д= 0.90.

В варианте 13 при заданных интенсивностях потоков отказов l=m= 1 1/час определить суммарное время эксплуатации t и математическое ожидание времени наработки на отказ M[T_t], если доверительный интервал T_t при доверительной вероятности Р_д=0.997 (вокруг M[T_t]) составляет 120 часов.

В варианте 14 при заданных интенсивности потока отказов l=0.8 1/час, суммарном времени эксплуатации элемента t = 1300 часов и математическом ожидании времени наработки на отказ M[T_t]= 800 часов определить интенсивность потока восстановления элемента m, а также доверительную вероятность попадания T_t в интервал 800...1000 часов.

В варианте 15 при заданных интенсивностях потоков отказов l= 5 1/час, восстановлений m= 1 1/час и математическом ожидании времени наработки на отказ M[T_t] = 600 часов определить суммарное время эксплуатации элемента t, а также доверительный интервал для времени наработки на отказ

(вокруг M[T_t]), отвечающий Р_д=0.99.

4. Резервирование в технических системах

Типовая задача с решением

Резервирование является одним из способов повышения надежности технических систем. Обычно рассматриваются следующие виды резерва:

n нагруженный или горячий резерв,

n ненагруженный или холодный резерв,

n облегченный резерв.

Возможная схема эксплуатации системы с резервированием приведена на рис.4.1. Каждый отказавший элемент поступает в ремонтное устройство, содержащее r ремонтных единиц, каждая из которых может мгновенно восстанавливать один элемент. Если все ремонтные места заняты, то элемент ставится в очередь.Система эксплуатируется исправно, если число рабочих элементов не меньше j (j£ n).

Нагруженный Рабочие

резерв элементы

(m) (n)

Облегченный Ремонтное

резерв устройство

() (r)

Ненагруженный

резерв

(s)

Рис.4.1 Схема эксплуатации системы с резервированием

Вероятность того, что система находится в состоянии к (в системе отказало к элементов), определяется как

p_k= где к =1...(N-j). (4.1)

Входящая в выражение (4.1) вероятность р₀ определяется следующим образом

, (4.2)

Интенсивности отказа и восстановления системы, находящейся в к-ом состоянии, определяются по выражениям:

(n+m) при 0£ к £ s,

= (n+m)l + при s £ k £s+ (4.3)

(n+m+ при s+

k при

m _k = (4.4)

при > r.

4.1. В системе эксплуатируется 4 рабочих элемента(n=4), 2 элемента; находящихся в горячем резерве (m=2) и 1 элемент - в облегченном резерве(. Интенсивности отказов элементов, находящихся в рабочем режиме и в режиме нагруженного горячего резерва, составляют l=0.5 1/час, в режиме облегченного резерва =0.25 1/час.Число ремонтных единиц r=2. Интенсивность потока восстановления m=1 1/час. Определить вероятности эксплуатации системы при к отказавших элементах, математическое ожидание числа отказавших элементов, а также вероятность сохранения работоспособности системы (система выполняет свои функции, если в ней эксплуатируется не менее трех рабочих элементов). Сравнить полученные результаты с результатами в системе, содержащей 4 ремонтных единицы (r=4).

Решение. Интенсивности потоков отказов системы, находящейся в к-м состоянии, будут: l₀=(4+2)l+ =3.25 1 1/час, В случае 2-х ремонтных единиц интенсивности потоков восстановления системы, находящейся в к-м состоянии, определятся как 1/час, m_к=2m (к=2...7).

Вероятности эксплуатации системы при к отказавших элементов согласно (4.1) и (4.2) будут: р₀=3.41647´10^-2, р₁=1.1088158´10^-1, р₂=1.6632238´10^-1,

р₃=р₄=2.0790297´10^-1, р₅=1.5592723´10^-1, р₆=7.79963514´10^-2, р₇=3.8901808´10^-2. Математическое ожидание числа отказавших элементов составляет М[ k ]= =3.419.Вероятность сохранения работоспособности системы отвечает эксплуатации не менее 3-х элементов: Р=р₀+р₁+р₂+р₃+р₄=0.727.

В случае, если число ремонтных единиц составляет r=4, интенсивности потоков восстановления будут: (к=1...4), m₅=4!´4, m₆=4!´4²,m₇=4!´4³. При этом вероятности р_к определятся как: р₀=0.0640504,р₁=2.0816367´10^-1, р₂=3.122455´10^-1, р₃=2.6020459´10^-1, р₄=1.3010229´10^-1, р₅=9.9871956´10^-3,

р₆=1.219709´10^-2,р₇=3.0492725´10^-3. При этих значениях вероятностей p_k

M[ k ]=2.278, P=p₀+p₁+p₂+p₃+p₄=0.975.

Таким образом, увеличение числа ремонтных единиц с 2-х до 4-х привело к уменьшению математического ожидания числа отказавших элементов с 3.419 до 2.278 и к увеличению вероятности сохранения работоспособности системы с 0.727 до 0.975.

Задачи для самостоятельного решения по разделу 4

В системе эксплуатируется 3 рабочих элемента (n=3), один - в нагруженном резерве (m=1) и один в ненагруженном резерве ( =1). Интенсивности потоков отказов составляют 2 1/час, = 1 1/час. Остальные характеристики надежности системы заданы в таблице. Определить вероятности эксплуатации системы при к отказавших элементах, математическое ожидание числа этих элементов M[ k ], а также вероятность сохранения работоспособности системы Р (система работоспособна, если число рабочих элементов не меньше j).

Номер варианта	m, 1 1/час	r	j

5. Законы распределения сроков службы стареющих

элементов

Дата добавления: 2015-04-30