Типовые задачи с решениями. В предыдущих заданиях в качестве закона надежности принимался экспоненциальный закон , характеризующийся независимостью интенсивности отказа элементов от

В предыдущих заданиях в качестве закона надежности принимался экспоненциальный закон, характеризующийся независимостью интенсивности отказа элементов от времени. Вместе с тем некоторые элементы стареют, начиная с некоторого срока их эксплуатации, а иногда с момента начала эксплуатации. Интенсивность отказа таких элементов возрастает во времени. При известном законе надежности интенсивность отказа элемента определится как

l(t)= . (5.1)

5.1. Усеченный нормальный закон. Поскольку срок службы любого технического изделия Т³ 0, то в качестве закона надежности стареющего элемента может быть принят, в частности, нормальный закон, усеченный слева:

P(t)= (5.2)

Входящие в (5.2) параметры и связаны с математическим ожиданием и дисперсией срока службы Т следующими соотношениями:

M[T] = t₀+ (5.3)

D[T] = . (5.4)

В выражениях (5.3) и (5.4)

c= - коэффициент усечения.

Производная от Р(t),будет

P^'(t) = (5.5)

Следовательно, зависимость интенсивности отказов от времени при усеченном нормальном законе распределения определяется по выражению:

(5.6)

Задан параметр s₀= 1 год. Построить зависимость l(t) при t₀= 1, 2 и 5 лет.

Решение. Результаты расчетов по выражению (5.6) приведены в таблице 5.1.

Из таблицы следует достаточно очевидный вывод: с увеличением параметра t₀, связанного с математическим ожиданием срока службы с помощью выражения (5.3), рост интенсивности потока отказов со временем уменьшается.

Таблица 5.1

Зависимость интенсивности потока отказов стареющего элемента при

функции надежности, подчиненной усеченному нормальному закону

t0	t, года
года
	0.288	0.798	1.525	2.373	3.283	4.226	5.186	6.158	7.138	8.274
	0.055	0.288	0.798	1.525	2.373	3.283	4.226	5.186	6.158	7.138
	0.000	0.000	0.004	0.055	0.288	0.798	1.525	2.373	3.283	4.226

5.2. Комбинированный закон. В ряде случаев функция надежности стареющего элемента может быть описана комбинированным законом:

Р(t)=P^*(t)´P^**(t). (5.7)

При этом интенсивность отказа элемента определится как

l(t)=l^*(t)+ l^**(t), (5.8)

где

l^*(t) = l^**(t) = . (5.9)

Пусть функция надежности некоторого элемента описывается комбинацией экспоненциального закона и Г-распределения:

q^*(t)=l^*exp(-l^*t), q^**(t) = , (5.10)

где Г(х) = - гамма-функция.

Определим зависимость интенсивности потока отказов от времени при следующих параметрах Р^*(t) и Р^**(t): l^*=0.5 1/год, a=4, b= 2 года.

Функция надежности, отвечающая частости потока отказов (5.10), при принятых параметрах Г-распределения определится как

P^**(t)=1-Q^**(t)=1- =exp(-t/2)(t⁴/16+t³/2+3t²+12t+24) (5.11)

Интенсивность потока отказов l^**(t) при этом будет

(5.12)

Полная интенсивность потока отказов рассматриваемого элемента определится следующим образом:

l(t)=0.5+l**(t). (5.13)

Результаты расчетов l(t) сведены в таблицу.

t, год
l,1/год	0.500	0.500	0.508	0.524	0.548	0.575	0.603	0.630	0.655	0.678
t, год
l,1/год	0.699	0.823	0.877	0.906	0.923	0.936	0.945	0.951	0.957	0.961

Из таблицы видно, что примерно до 3-4 лет эксплуатации элемента наибольший вклад в интенсивность его отказов вносят так называемые случайные отказы, характеризуемые постоянной интенсивностью, а затем все больший удельный вес приобретают отказы,обусловленные старением

элемента.

Задачи для самостоятельного решения по разделу 5

Задание 5

Во всех вариантах пятого задания следует получить зависимость интенсивности потока отказов стареющего элемента от времени его эксплуатации.

№ варианта	q(t)	Параметры закона
	Г-распределение	1 час
		, 1 час
	Закон Релея
	Закон Вейбулла	, c= 1 1/час^3
		, с= 1 1/час^2
	- распределение
		n=4

-

№ варианта	q	Параметры закона
	- распределение	n=2
		n=3
	Закон Максвелла
10		= 1 год
	Законы экспоненциальный и	l^*=3 1/год,
	Максвелла	=1 год
	Законы экспоненциальный и	l^*=0.3 1/год
	Г-распределение	a=3, b= 1 год
	Законы экспоненциальный и	l^*= 1 1/год
	Релея	= 1 1/год
	Законы экспоненциальный и	l^*= 1 1/год
	Вейбулла	a= 1, с= 1 1/час^3
	Законы экспоненциальный и	l^*=0.3 1/год
	c^2 - распределение	n=6

6. Предупредительные замены стареющих элементов

Типовая задача с решением

Стареющие элементы часто целесообразно заменять, не дожидаясь выхода их из строя. Если элемент является составной частью какой-либо системы, то такая плановая его замена может существенно повысить надежность эксплуатации системы в целом.Следовательно, замены стареющего элемента происходят либо через некоторое заранее установленное время t_пл, либо в результате его внезапного отказа.

Эффективность такого способа эксплуатации стареющего элемента может быть оценена путем сравнения математических ожиданий времен эксплуатации элемента при отсутствии его плановых замен и при некотором их числе n.

Среднее время эксплуатации элемента при его n предупредительных заменах определяется как

. (6.1)

В выражении (6.1) применены следующие обозначения

- плановый срок замены стареющего элемента,

- значение функции надежности при ,

= - среднее время эксплуатации элемента при

плановой его замене, (6.2)

= - среднее время эксплуатации элемента при

отсутствии замен. (6.3)

При n lim (6.4)

Определим средние времена , , и lim при n эксплуатации элемента, функция надежности которого подчинена усеченному нормальному закону с параметрами s₀= 1 год, t₀= 2 года, а плановые сроки замен отвечают P(t_пл) = 0.2 и 0.5.

Решение. В рассматриваемом случае t_пл определяется из выражения (2.5):

. (6.5)

Если обозначить 0.5+ , то

t_пл=t₀-arcF₀(b₀P_пл - 0.5)´s₀. (6.6)

При принятых параметрах усеченного нормального закона t_пл=2.028 года при P_пл=0.5 и t_пл=2.858 года при Р_пл=0.2.

Математические ожидания времени эксплуатации элемента при заменах его через плановые сроки () и при отсутствии таких замен () при полученных значениях интервалов времени между плановыми заменами определятся как:

года, года,

=2.06 года.

Средние сроки службы элемента при одной (n=1) и двух (n=2) предупредительных заменах,определенные по выражению (6.1), а также сроки службы элемента при (выражение (6.4)) и при отсутствии предупредительных замен приведены в таблице.

Рпл	, лет	лет	, лет
0.5	2.06	2.69	3.00	3.32
0.2	2.06	2.35	2.40	2.43

Из таблицы видно, что замены при Р_пл=0.2 приносят незначительный выигрыш в среднем времени эксплуатации элемента: при двух заменах срок службы увеличивается лишь в 1.17 раза. При Р_пл=0.5 срок службы увеличивается в 1.5 раза. В рассмотренном примере более двух предупредительных замен делать нецелесообразно, так как увеличение среднего срока службы элемента с каждой дополнительной заменой оказывается незначительным.

Задачи для самостоятельного решения по разделу 6

Задание 6

Определить средние сроки службы элемента, эксплуатируемого:

n без предупредительных замен,

n при предупредительных заменах,отвечающих условиям:

Р(t_пл) = 0.2 и 0.5 при числах предупредительных замен

n=1, n=2 и n .

Функцию надежности принять ту же, что и в задании 5.

7. Определение сроков службы стареющих

элементов

Дата добавления: 2015-04-30